\require{AMSmath}

Vier ballen gooien in vier dozen

Ik ben bezig met een vraag, maar komt er niet uit. Kunnen u mij misschien verder op weg helpen?

Er zijn 4 dozen genummerd van 1 tm 4. We gooien 4 ballen in de dozen met kans ¹/₄ dat een bal in een willekeurige doos valt.

a) wat is de kans dat er tenminste 1 doos leeg is? P(X)
b) wat is de kans dat er precies 1 doos leeg is?
c) wat is de kans dat doos 1 leeg is?

antwoorden:

ad a) De kans dat er tenminste 1 doos leeg is =P(X)= 1 - de kans dat precies elke bal in een doos terecht komt (= P(Y) )
P(Y) = (¹/₄ · (4+3+2+1))/4! = 10/96
P(X)= 1- P(Y)= 86/96 (in antwoordenboek: 87/96)
(4+3+2+1): voor de eerste bal heb je 4 plekken vrij, voor de tweede bal heb je nog 3 plekken vrij...etc.
b)kans precies 1 doos leeg:
Vertaald naar: Kans dat doos 1 of doos 2 of doos 3 of doos 4 leeg is.
P(doos 1 leeg)= P(doos i leeg) i=1,2,3,4
Dus de gevraagde kans is 4 P(doos 1 leeg)
P(doos 1 leeg)= (¹/₄ ·(3+2+1+3))= 9/96
dus 4·9/96= 36/96 = 6/16 (antwoordenboek 9/16)
c) kans dat box 1 leeg is dus 9/16= 144/256 (antwoordenboek 81/256)
Bedankt alvast!

kkchan
Student universiteit - zaterdag 5 november 2005

Antwoord

Als je bij elk van de 4 worpen noteert in welk bakje de bal is gevallen dan krijg je rijtjes van 4 cijfers bestaande uit enen, tweeen, drieen en vieren.
Zo stelt dan het rijtje 1323 voor: eerste bal in bakje 1, tweede bal in bakje drie, derde bal in bakje 2 en laatste bal in bakje 4.
Er zijn in totaal 4·4·4·4=4⁴=256 van deze rijtjes mogelijk.

a)
Je schrijft terecht:
De kans dat er tenminste 1 doos leeg is =P(X)= 1 - de kans dat precies elke bal in een doos terecht komt (= P(Y) ).
Voor P(Y) moet je kijken naar alle rijtjes getallen die uit 4 verschillende cijfers bestaan. Dit aantal rijtjes is gelijk aan 4·3·2·1=4!=24.
Dus P(Y)=24/256=3/32(=9/96)
P(X)=1-3/32=29/32(=87/96)

b)
Er is precies 1 bakje leeg: dat betekent rijtjes waarin precies 3 van de 4 getallen voorkomen, en dus een getal dubbel.
Dat kan op op de volgende manieren:
1) het tweede getal is gelijk aan het eerste;aantal mogelijkheden: 4·1·3·2=24
2) het derde getal is gelijk aan het eerste of het tweede getal; aantal mogelijkheden 4·3·2·2=48
3) het vierde getal is gelijk aan het eerste, het tweede of het derde; aantal mogelijkheden; 4·3·2·3=72
De kans is dus (24+48+72)/256=144/256=9/16

c)
Je wilt dus rijtjes hebben bestaande uit de getallen 2,3 en 4.
Dat zijn 3·3·3·3=81 rijtjes. Kans dus 81/256

hk
zondag 6 november 2005

©2001-2024 WisFaq