\require{AMSmath}

Vraagstuk talstelsel

Het buitenaardse wezen.

Aan zijn rechterhand had het buitenaardse wezen één vinger meer dan aan zijn linkerhand.

We wisten dat hij, zoals wij, het positiestelsel gebruikte, maar we kende zijn cijfers niet en we wisten evenmin in welke volgorde ze gerangschikt werden.

We vroegen hem op zijn manier de getallen te schrijven die wij als volgt uitdrukken:

196 en 9604

Hij schreef:

symbool vierkantjeD en Dsymbool vierkantje

Zonder ons te zeggen welk van onze getallen overeenstemde met zijn symbolen.

Hoeveel vingers had hij aan zijn linkerhand?

Jonas
3de graad ASO - maandag 31 oktober 2005

Antwoord

In plaats van de symbolen vierkantje en delta neem ik onze letters a en b.
Het totaal aantal vingers aan beide handen noem ik x.
We weten dan
ax+b=196
bx+a=9604.
Verder weten we a,b en x geheel, 0ax en 0bx
Uit ax+b=196 volgt b=196-ax.
Invullen levert
(196-ax)x+a=9604.
196x-ax²+a-9604=0
ax²-196x+9604-a=0
Wil deze vergelijking een gehele x als oplossing hebben dan moet de discriminant van deze vergelijking een kwadraat zijn.
D=196²-4a(9604-a)=4(9604-9604a+a²)
Dus moet 9604-9604a+a² een kwadraat zijn.
Kiezen we a=0 dan is 9604-9604a+a² gelijk aan 9604=98², maar a moest groter dan 0 zijn.
Kiezen we a=1 dan is 9604-9604a+a² gelijk aan 1 en dat is een kwadraat.
Vanaf a=2 tot a=9602 is 9604-9604a+a² 0. Als a=9603 dan is 9604-9604a+a² weer gelijk aan 1.
Maar omdat ax kan a niet gelijk zijn aan 9603 of groter zelfs.
Conclusie a=1 is de enige oplossing die voldoet.
We houden dan over:
x+b=196
bx+1=9604

Uit x+b=196 volgt b=196-x
(196-x)x+1=9604
196x-x²-9603=0
x²-196x+9603=0
(x-97)(x-99)=0
x=97 of x=99
Uit x=97 volgt b=196-97=99 (kan dus niet)
Uit x=99 volgt b=97.
Conclusie x=99.
99=50+49.
Hij had dus 49 vingers aan zijn linkerhand.

hk
maandag 31 oktober 2005

©2001-2024 WisFaq