\require{AMSmath}

Riemann som

Hoi,

Ik doe elke keer iets fout met het opstellen van een riemann som. Ik heb de volgende functies: x² op R\behalve N
en bij N: 0,5x². Ik moet op dit interval de onder en boven som formuleren en aan tonen dat het riemann integreerbaar is.
Ik heb het volgende:
boven en ondersom vallen tegen elkaar weg op het interval behalve bij 1 en 2.
bij 1: 1/n · (1+1/n)² + 1/n ·1² - ¹/₂ ·1²· 1/n - ¹/₂ · 1²·1/n.
bij 2: 1/n · ((2)² - 1/2·2²)
Maar dit schijnt beide fout te zijn en ik snap niet waarom. Kan je mij dat uitleggen?
bedankt!

jantin
Student hbo - vrijdag 28 oktober 2005

Antwoord

Je hebt niet gezegd over welk interval je moest integreren maar het lijkt erop dat het over [1,2] gaat. Verdeel dat interval in n gelijke deelintervallen. Op het intervalletje [1+i/n, 1+(i+1)/n] is de kleinste bovengrens M_i van de functiewaarden gelijk aan (1+(i+1)/n)²; de grootste ondergrens m_i is altijd (1+i/n)² behalve bij i=0, dan is het ¹/₂ en bij i=n-1, dan is het 1.
Inderdaad als je de onder- van de bovensom aftrekt valt bijna alles tegen elkaar weg maar niet alles. Wat overblijft is (1/n)(5/2+(1+(n-1)/n)²) (reken zorgvuldig na). De limiet hiervan (voor n naar oneindig) is nul.
Hint: schrijf de onder- en bovensommen eens helemaal uit, bijvoorbeeld voor n=5 en bekijk nauwkeurig wat wegvalt en wat overblijft als je ze van elkaar aftrekt.

kphart
woensdag 2 november 2005

©2001-2024 WisFaq