Functieonderzoek, domein, nulwaarden en nog zo wat
Hoi,
Gevraagd: Beschouw de functie f met voorschrift f(x)=xÖ(9-x2) Bereken: a) Bepaal het domein van f. Ik dacht dat dit het gesloten interval tss -3 en 3 was, hoe bepaal ik dit algebraïsch?
b) De nulwaarden en de extrema van f, en schets de grafiek. De nulwaarde is x=0 het maximum volgens mij (2.1213181 , 4.5) Maar weer weet ik niet hoe dit algebraïsch op te lossen.
c) Bereken p als we weten dat F(x)= p*(9-x2)(3/2) het voorschrift is van een primitieve functie van f. Ik dacht hierbij om een primitieve functie te berekenen van f en die dan aan dit gegeven voorschrift gelijk te stellen, maar hoe doen we dit dan juist? antwoord: p= - 1/3
d) De oppevlakte van de vlakdelen die door de grafiek en de x-as worden ingesloten. We bereken dan volgens mij de integraal tss -3 en 3 van de functie die bij a gegeven is, of is dit niet het geval? antwoord: 9
Katrie
3de graad ASO - donderdag 27 oktober 2005
Antwoord
Beste Katrien,
a) Dat klopt, de noemer mag immers niet negatief zijn, algebraïsch vind je dat dus door het volgende op te lossen: 9-x2 0
b) Je nulwaarde klopt, maar vergeet x = -3 en x = 3 niet, het ging immers over het gesloten interval. Het algebraïsch vinden van extrema (max of min) kan met de afgeleide. Leid de functie af naar x, stel dit gelijk aan 0 en los op naar x. Je zou (symmetrisch) zowel een minimum als een maximum moeten vinden, je hebt immers te maken met een oneven functie.
c) Je bedoelt waarschijnlijk die (3/2) als exponent, dus F(x) = p(9-x2)^(3/2). Nu heb je 2 mogelijkheden, f(x) integreren en gelijkstellen aan F om p te vinden zoals je zelf voorstelt, of (en dat lijkt me makkelijker), F(x) afleiden en gelijkstellen aan f(x)! Dan zal je p makkelijk kunnen vinden.
d) Vermits de functie oneven is (en dus puntsymmetrisch t.o.v. de oorsprong) gaat je integraal over het hele domein 0 zijn, links is er immers een even grote oppervlakte onder de x-as als rechts erboven. Bepaal dus de oppervlakte tussen -3 en 0 (en keer het teken om) of tussen 0 en 3. Dit kan nu eenvoudig omdat je door p op te lossen al een primitieve functie gevonden hebt.
0