\require{AMSmath}

Waarom komt deze werkwijze uit? Romeinse cijfers

De Romeinen vermenigvuldigden op een geheel andere manier dan dat wij deden... hier is een klein voorbeeld. Om het niet al te ingewikkeld te maken neem ik een voorbeeld met onze gewone getallen:
14 x 23 = ...

We schrijven 14 aan de linkerkant en 23 aan de rechterkant, het maakt niet uit welk getal links en welk rechts staat. Het linkse getal delen we telkens door 2 waarbij we de rest ook telkens verwaarlozen. het rechtse getal vermenigvuldigen we met 2. Dan krijgen we zoiets:

14 23
7 46
3 92
1 184

Als we nu van de rechtse kolom de getallen optellen die naast een oneven getal staan krijgen we:
46+92+184=322
14 x 23 is 322

Kan iemand mij verantwoorden waarom dat de werkwijze van de Romeinen ook uitkomt?

Martij
3de graad ASO - zaterdag 22 oktober 2005

Antwoord

Misschien moeten we eens naar die 14 kijken....

14 : 2 = 7
7 : 2 = 3 rest 1
3 : 2 = 1 rest 1
1

Dus 14 kan je schrijven als 8+4+2+0=(1110)₂
14 · 23 = (8 + 4 + 2 + 0) · 23 = 8·23 + 4·23 + 2·23 + 0·23 = 184 + 92 + 46

Nog een voorbeeld:

34 · 44 =
17 88 (2·44)
8 176 (4·44)
4 352 (8·44)
2 704 (16·44)
1 1408 (32·44)

1408 + 88 = 1496

Het lijkt dus wel een beetje op het rekenen met binaire getallen. Het idee is dat je elke natuurlijk getal kan schrijven als een som van machten van 2. Door aan de andere kant te verdubbelen krijg je uiteindelijk een 'zinnig' en werkend algoritme. De plaatsen naast de oneven getallen in de tabel zijn precies de delingen waar een rest uitkomt.

Ik geef toe 't is niet helemaal het ultieme antwoord dat je vroeg, maar misschien kan je er nu zelf mee verder...

P.S.
Misschien nog beter:

34 · 44 =
17 · 88 =
8 · 176 + 1·88 =
4 · 352 + 1·88 =
2 · 704 + 1·88 =
1 · 1408 + 1·88 = 1496

14 · 23 =
7 · 46 =
3 · 92 + 1·46 =
1 · 184 + 1·92 + 1·46 = 322

WvR
zaterdag 22 oktober 2005

©2001-2024 WisFaq