Berekenen van lim ( sin x2)/(1-cosx ) voor x gaande naar 0. Door de regel bekom ik lim (cos x2. 2x)/(1+sinx) = 0/1=0
Toch is het antwoord 2; waar zit de fout?
Ook lim (x.tan ( 1/x)) voor x gaande naar + oneindig,bekom ik oneindig .0, dus maak ik lim (x/cotan(1/x))en bekom door de regel lim ( 1/((1/sin2(1/x)).(1/x2)))= 1/oneindig=0 en het antwoord is 1?
Nog een laatste probleem, misschien aanloog.
lim (x.sin(2/x)) voor x naar - oneindig, dacht ik te schrijven als lim (1/x).sin(x/2) voor x gaande naar 0, maar dan krijg ik door de regel 1/2. Maar de uitkomst is 2?
Vannes
3de graad ASO - woensdag 28 september 2005
Antwoord
Dag Diana,
In de eerste oefening loopt het fout bij het afleiden van de noemer: de afgeleide van 1-cosx is niet 1+sinx... want de afgeleide van 1 is 0. Op die manier kom je opnieuw op 0/0 uit, en nog een keer de l'H^opital geeft je uiteindelijk wel de juiste uitkomst 2.
De tweede oefening: let hier goed op wat er in de teller staat, en wat in de noemer! Die 1/x2 staat in de noemer, dus krijg je x2 in de teller. Ook die 1/sin2(1/x) staat in de noemer, dus je krijgt sin2(1/x) in de teller. Dit is nog altijd oneindig maal nul... Wat je hier denk ik het beste kan doen is een substitutie uitvoeren: noem t=1/x, dan krijg je de limiet voor t naar nul van sin2(t)/t2 en daarop kan je weer de l'H toepassen.
De laatste oefening: het is wel altijd een beter idee om voor je substitutie een andere letter te kiezen dan x, bv t=1/x. Maar het idee is wel goed hier. Alleen, als je x/2 wil omzetten, dan krijg je (1/t)/2 = 1/(2t). En dat verklaart waarom je er een factor 4 naastzit.
