\require{AMSmath}

Verjaardagen

Ga bij de volgende vragen uit van een jaar van 365 dagen.

a) Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat van de vijf willekeurig gekozen leerlingen er minstens twee op dezelfde dag jarig zijn

b)In een klas zitten 30 kinderen. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat minstens twee van deze leerlingen op dezelfde dag jarig zijn.

Gegevens:
Bij 5 leerlingen is de kans 0,05 dat verjaardagen samenvallen.
Bij 30 leerlingen is dat 0,7

De volgende berekening had ik bij vraag a
(0,05)²· 364/365·363/365 + (0,05)³·364/365 + 0.05 tot de macht vijf.
Wat doe ik verkeerd?

Jacque
Student hbo - zaterdag 17 augustus 2002

Antwoord

Omdat in de vraag het woord "minstens" voorkomt, is het zinvol om even na te denken over de vraag of je een rechtstreekse berekening gaat geven dan wel een complementaire kans. Dat laatste betekent, zoals je ongetwijfeld weet, dat je de kans uitrekent op hetgeen je níet wilt hebben.

Minstens 2 op dezelfde dag betekent 2 of 3 of 4 of alle 5 de kinderen zijn op dezelfde dag jarig. Hetgeen je níet wilt hebben is dat de kinderen alle op verschillende dagen verjaren.

Er staan dus 4 rechtstreekse berekeningen tegenover slechts één complementaire, dus we kiezen voor het laatste.
Daar gaan we:

Stel je voor dat jij beslist op welke dag een kind jarig gaat zijn. Voor het eerste kind kun je alle 365 dagen kiezen. Voor het tweede kind dan nog maar 364. Voor het derde kind dan nog maar 363. En daarmee heb je het telsysteem te pakken.
Bij 5 kinderen is de kans dus: 365/365 . 364/365 . 363/365 . 362/365 . 361/365

Bij 30 kinderen gaat het exact hetzelfde, alleen is het een enorme klus om die 30 breuken in te tikken. Misschien kun je dat beter met een computer doen. Het enige waarover je nog even zou moeten nadenken is wat de teller van de laatste breuk is.

Het verbazende in dit probleem is dat je bij een groep van 22 kinderen al een kans van meer dan 50 % hebt dat er minstens 2 op dezelfde dag jarig zijn.

MBL
zaterdag 17 augustus 2002

©2001-2024 WisFaq