\require{AMSmath}

Aantal vierkanten in een schaakbord

Hallo,

Ik had laatst een vraag over hoeveel vierkanten in een schaakbord (8x8) past (niet alleen de aantal vakjes, maar ook het hele bord is een vierkant en 2x2 kleine vierkantjes is een vierkant) en volgens mij kun je dat berekenen.

Dank u voor uw hulp, Greetz TK

Tsunki
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 13 september 2005

Antwoord

Het is handig om dit soort telproblemen systematisch aan te pakken. We beginnen in het klein en hopelijk herkennen we er dan een systeem in. Als dat zo is, dan kunnen we elk vierkant wel gaan gebruiken.

Ik gebruik de letters n en a. Deze staan voor een vierkant van a bij a (dus a=4 staat voor een vierkant van 4 bij 4) waar dan n vierkantjes in zitten.

Laten we eens beginnen met een vierkant van 1 bij 1 (a=1). Hier kan maar 1 vierkant in, dus n=1.
Conclusie: Als a=1 dan n=1.

We gaan nu verder met een vierkant van 2 bij 2 (a=2). Welke vierkantjes gaan hier in?

• Er gaan 4 vierkantjes van 1 bij 1 in.
• Er gaat 1 vierkant van 2 bij 2 in.

Conclusie: Als a=1 dan n=1+4=5.

a=3. Welke vierkantjes gaan hier in?

• Er gaan 9 vierkantjes van 1 bij 1 in.
• Er gaan 4 vierkantjes van 2 bij 2 in.
• Er gaat 1 vierkant van 3 bij 3 in.

Conclusie: Als a=3 dan n=1+4+9=14.

a=4. Welke vierkantjes gaan hier in?

• Er gaan 16 vierkantjes van 1 bij 1 in.
• Er gaan 9 vierkantjes van 2 bij 2 in.
• Er gaan 4 vierkantjes van 3 bij 3 in.
• Er gaat 1 vierkant van 4 bij 4 in.

Conclusie: Als a=4 dan n=1+4+9+16=30.

Even bij elkaar gezet:

a	n
1	1
2	1+4=5
3	1+4+9=14
4	1+4+9+16=30

De optellingen die de uitkomst van n geven, zijn niet zomaaar getallen. Misschien kun je al zien dat n bestaat uit een optelling van kwadraten.

Kijk nog maar eens naar a=4. Dan kunnen we zeggen: n = 1+4+9+16 = 1²+2²+3²+4² = 30

Kun je zelf ontdekken waarom het een optelling van kwadraten is?

Voor jouw vraag, a=8, krijgen we dus n=1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²=204

Daniel
dinsdag 13 september 2005

©2001-2024 WisFaq