\require{AMSmath}

Volledige inductie; vast gelopen

de opdracht:
bewijs dat voor elke nÎ:1³+2³+....+n³=¹/₄n⁴+¹/₂n³+¹/₄n².

ik kan bewijzen dat n=1 klopt
immers voor n=1 Þ 1³=¹/₄´1⁴+¹/₂´1³+¹/₄´1² =¹/₄+¹/₂+¹/₄=1
vervolgens heb ik geprobeerd n+1 te bewijzen:
1³+2³+...+n³+(n+1)³=(n+1)³+¹/₄n⁴+¹/₂n³+¹/₄n²)
=n³+2n²+n+n²+2n+1+¹/₄n⁴+¹/₂n³+¹/₄n² =¹/₄n⁴+1¹/₂n³+3¹/₄n²+3n+1

nu loop ik echter vast of ik heb het fout gedaan. zouden jullie me kunnen helpen?

D.
Student universiteit - woensdag 7 september 2005

Antwoord

Hallo,

Nadat je hebt aangetoond dat het klopt voor n = 1, veronderstel je dat het klopt voor n = k (dit is de inductiehypothese). We veronderstellen dus dat geldt:

1³ + 2³ + ... + k³ = k⁴/4 + k³/2 + k⁴/4

Nu willen we ook bewijzen dat dit geldt voor n = k + 1, dus dat:

1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³ = (k+1)⁴/4 + (k+1)³/2 + (k+1)²/4

Je kan dit doen door aan te tonen dat er in beide leden evenveel is bijgekomen. In het linkerlid is dit eenvoudig te zien, de toename is namelijk (k+1)³. Om de toename van het rechterlid te vinden nemen we het nieuwe rechterlid en trekken we het oude er van af. We gaan dan na of de toename ook gelijk is aan (k+1)³. Dus:

(k+1)⁴/4 + (k+1)³/2 + (k+1)²/4 - (k⁴/4 + k³/2 + k²/4)

Werk nu in het eerste deel die machten van de tweetermen uit, daarna zal er veel wegvallen. Gebruik (a+b)² = a² + 2ab + b² en de gelijkaardige formules voor de 3e- en 4e-macht.

mvg,
Tom

td
woensdag 7 september 2005

©2001-2024 WisFaq