\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 39957

Re: Re: Differentiaalvergelijking en de orde met 2de lid

Hallo Tom,
Dank voor uw deskundige uitleg. Het principe is dus als men in de bizondere oplossing een zelfde voorstel zou indienen dan bij de algemene oplossing, dan wordt ,na gelijkstelling het 2 de lid op nul herleid( bvb 8cos2x=0)
Dat is dan het signaal om de bizondere oplossing met x te vermenigvuldigen. Zou de algemene oplossing dan een x bevatten dan moet ik de bizondere oplossing met x² vermenigvuldigen. Is dit principieël zo?
Mijn bizondere oplossing is , dan 2xsin2x, wat strookt met het antwoordregister in mijn kursus. Het volldig antwoord is dan :y=C1cos2x+C2sin2x+ 2xsin2x
Graag nog een reactie aub?
Groeten,

lemmen
Ouder - donderdag 18 augustus 2005

Antwoord

Beste Rik,

Het zou inderdaad kunnen dat het voorstel na vermenigvuldiging met x nog steeds oplossing is van de homogene vergelijking, dan vermenigvuldigen we inderdaad met x² (enz). Dit kan men inderdaad formeel aantonen, maar het bewijs is niet triviaal dus dat laten we hier maar achterwege.

Als het rechterlid van de vorm V(x)e^mx is (met V(x) een veelterm) en de multipliciteit van m als wortel van de karakteristieke vergelijking m is, dan vermenigvuldig je het voorstel tot particuliere oplossing met x^m.

In mijn voorbeeld was m = 2 en de karakteristieke vergelijking k-2 = 0, bijgevolg was m (2) een enkelvoudige wortel hiervan, we vermenigvuldigden dus met x en dit volstond. Onderstel dat de karakteristieke vergelijking (k-2)² = 0 was, dan was de multipliciteit 2 en moesten we dus met x² vermenigvuldigen. Op deze manier zie je dat je ook op voorhand kan weten waarmee je moet vermenigvuldigen, het is dus geen 'gok- en probeerwerk'.

Je volledige oplossing klopt overigens, die is dus:

y = y_h + y_p = C₁cos(2x) + C₂sin(2x) + 2xsin(x)

mvg,
Tom

td
donderdag 18 augustus 2005

©2001-2024 WisFaq