\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 32895

Re: Lissajous-figuren

Hoe moet je dan een vergelijking van die parabool opstellen en hoe kan je bewijzen dat alle punten erop liggen?

En klopt het dat de nulpunten x=1,414 en x=-1,414 zijn?

leerli
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 21 mei 2005

Antwoord

Die nulpunten zijn exact Ö2 en -Ö2.

Een parabool met top in (0,-1) heeft als algemene gedaante: y=a*x²-1
Invullen van (Ö2,0) levert:
0=a*2-1 dus a=¹/₂.
Dus y=¹/₂x²-1.

Aantonen dat alle punten van de kromme op deze parabool liggen doe je door x=2sin(t) en y=sin(2t-0.5p) in te vullen in de vergelijking van de parabool.
Je moet nu dus aantonen dat
sin(2t-0.5p)=2sin²t-1
Dit klopt want:
2sin²t-1=-cos(2t) en
sin(2t-0.5p)=
sin(2t)*cos(0.5p)-cos(2t)*sin(0.5p)=
0-cos(2t)=-cos(2t).

P.S. I.p.v. de nulpunten kun je natuurlijk ook een ander punt van de kromme nemen om in te vullen in y=a.x²-1.
Het punt met t=0.5p ligt dan erg voor de hand. Dit punt heeft als coordinaten (2,1) zodat je krijgt:
1=a*4-1, dus 4a=2 dus a=¹/₂.

hk
zaterdag 21 mei 2005

©2001-2024 WisFaq