een leraar verdeelt voor huiswerk 20 onderwerpen over 20 leerlingen , alles wordt verdeeld en iedereen krijgt een ander onderwerp. a) Als een bep leerling een bep voorkeur heeft , hoe groot is de kans dat hij zijn zin krijgt ? b)als alle leerlingen een verschillende voorkeur hebben , hoe groot is de kans dat elke leerling het gewenste onderwerp wilt
Ik denk het volgende , maar voel me nog niet thuis op het gebied der kansrekening a) 1/20 b) (1/20) ^ 20
Kunnen jullie me verbeteren indien fout ?
Hartelijk dank
Rudy
3de graad ASO - woensdag 18 mei 2005
Antwoord
Antwoord a is correct, antwoord b echter niet. Om te zien waarom, gaan we eerst een simpelere versie van het probleem bekijken, namelijk het probleem met 2 leerlingen. Wat is nu de kans dat ze allebei hun zin krijgen? Stel, A heeft de voorkeur voor onderwerp 1. Hij/zij heeft dan 50% kans die ook te krijgen. En leerling B dan? Wel, alle leerlingen hebben een verschillende voorkeur, dus als A onderwerp 1 wil, dan wil B onderwerp 2. En als A onderwerp 1 krijgt, dan krijgt B ook onderwerp 2! Met andere woorden, er is 50% kans dat ze allebei hun zin krijgen.
Nu gaan we door naar 3 leerlingen. Noem de leerlingen A, B en C, en de onderwerpen a, b en c (waarbij A a, B b en C c wil). De kans dat A onderwerp a krijgt is natuurlijk 1/3. Maar wat is de kans dat A a en B b krijgt. Niet 1/3x1/3=1/9! Als A onderwerp a heeft, zijn er nog maar 2 mogelijkheden, namelijk b en c. De kans dat B onderwerp b krijgt is dan dus 1/2. Totaal is de kans dat zowel A als B het gewenste onderwerp krijgt, dus 1/3*1/2=1/6. En als A en B krijgen wat ze willen, dan C dus ook, dus de kans dat ze alledrie hun zin krijgen is 1/3*1/2*1=1/6.
Over naar het geval met 20 leerlingen. De kans dat de eerste leerling het gewenste onderwerp krijgt, is 1/20. Maar ALS de eerste leerling het gewenste onderwerp krijgt, dan is de kans dat de tweede leerling dat ook krijgt niet 1/20, maar 1/19. De kans dat alle leerlingen het gewenste onderwerp krijgen, is dan 1/20x1/19x1/18x...x1=1/(20!). Dat is overigens nog steeds een verwaarloosbaar kleine kans, maar toch een stuk groter dan (1/20)^20.
