\require{AMSmath}

Gulden snede

De exacte waarde van de verhouding bij de gulden snede is 1:(0,5+0,55)
hoe wordt dat bewezen?

nadiem
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - dinsdag 2 juli 2002

Antwoord

Een lijnstuk wordt verdeeld in de zogenaamde 'gulden snede' als voor de stukken waarin het verdeeld wordt de volgende verhouding geldt:

kleinste stuk : grootste stuk = grootste stuk : hele lijnstuk

Als het hele lijnstuk a wordt genoemd, het kleinste stuk x en het grootste stuk y dan komt dat neer op:

x : y = y : a ofwel op y² = ax (kruislings vermenigvuldigen)

Maar omdat x = a - y kun je dit schrijven als y² = a(a - y) ofwel y² + ay - a² = 0

Noemen we de lengte van het lijnstuk a = 1, dan wordt het iets eenvoudiger: y² + y - 1 = 0 (een tweedegraadsverg.)

Pas nu de abc-formule toe en je vindt y = -½ + ½5
(je vindt nóg een oplossing, maar die is negatief, wat hier niet kan).

Uit x = 1 - y volgt dat x = 1½ - ½5

Nu zou x/y gelijk moeten zijn aan het door jou opgegeven getal.
Als je ook dit kruislings vermenigvuldigt komt het neer op het aantonen van y = (½ + ½5).x
Vul dus voor x de waarde in die we gevonden hebben, werk de haakjes weg en je zult zien dat het precies klopt.

MBL
dinsdag 2 juli 2002

©2001-2024 WisFaq