\require{AMSmath}

Tweede afgeleide

Hoe vind ik de tweede afgeleide van
(2 ln x )(ln x - 1)
en hoe bepaal ik de extremen hiervan

Dirk
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 28 juni 2002

Antwoord

f(x)= (2lnx)(lnx - 1)
= 2ln²x - 2lnx

Nu eerst f '(x) berekenen
Het eerste stukje heb je de kettingregel voor nodig; het tweede stukje gaat direct:

f '(x)= 2.(2lnx).[lnx]' - 2/x
= 4lnx.1/x - 2/x = (4/x).lnx - 2/x

f"(x)= (-4/x²).lnx + (4/x).1/x - (-2/x²)
= (-4/x²).lnx + 6/x²
= (1/x²).(-4.lnx + 6)

De extremen van f(x) vind je door te stellen:

f '(x)= 0

dus (4/x).lnx - 2/x = 0 Û
(2/x).(2lnx -1) = 0

dit is van de vorm A.B=0 dus A=0 of B=0

echter, 2/x kàn nooit nul worden, dus nu alleen verder met:

2lnx - 1 = 0 Û lnx = 1/2 Û
x=e^1/2 = e

Als x iets groter zou zijn dan e dan is f '(x) positief dus stijgend, en is x iets kleiner dan e dan is f '(x) negatief, dus f dalend.
zodoende is x=e een minimum.
f(e)= -1/2.

groeten,
martijn

mg
vrijdag 28 juni 2002

©2001-2024 WisFaq