Hoe kan ik de werking van de Bisectie methode aantonen door middel van een derdegraadsfunctie? En wat is het verschil tussen de Bisectie methode en de Regula Falsi?
Bij voorbaat dank
Bob
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 28 april 2005
Antwoord
Wanneer een functie f(x) van R naar R op een interval geen verticale asymptoten heeft en je weet dat f(a)f(b) 0, dan MOET er op het interval [a,b] minimaal 1 punt n bestaan waarvoor f(n) = 0. Dit komt omdat f(a) en f(b) niet aan dezelfde kant van de x-as liggen (niet beide positief of beide negatief), zodat de functiegrafiek ergens de x-as moet snijden. (Let wel: dat kan vaker dan eens gebeuren!)
Met beide methoden wordt n benaderd. Dit kun je net zo vaak herhalen tot je een gewenste nauwkeurigheid hebt verkregen. Bij de bisectie-methode neem je punt c halverwege interval [a,b] en bepaal je f(c). Als f(a)f(c)0, neem je [ac] als het nieuwe interval en is c de 'nieuwe b'; zoniet, dan is f(b)f(c)0 en wordt [cb] het nieuwe interval en is c de nieuwe a. Je halveert dan steeds het interval tot de gewenste benadering is gevonden.
Bij de regula falsi-methode zoek je door de coordinaten (a,f(a)) en (b,f(b)) met elkaar te verbinden en het snijpunt van de zo ontstane lineaire functie met de x-as te bepalen en dit als nieuwe intervalgrens c te kiezen. Deze methode is meestal gerichter omdat je zo meer rekening houdt met de y-waarden en niet alleen met de x-waarden; op termijn benader je met de lineaire functie ook steeds meer de afgeleide van y(x).
De reden dat je dit met een derdegraadsfunctie dient te doen is waarschijnlijk omdat er dan altijd sprake is van een snijpunt met de x-as. Dat is met een lineaire functie y=ax+b ook zo voor a0, maar daarmee krijg je de regula falsi methode niet helemaal goed uitgelegd omdat die daar juist mee werkt. Er zijn ook nog andere functies denkbaar waarmee je dit kunt doen. Belangrijk is dat je zeker weet dat de functie een snijpunt met de x-as heeft.
Ten slotte: de functie moet wel van R naar R lopen en geen asyptoten hebben. f(x) = 1/x heeft bijvoorbeeld de punten (-1,-1) en (1,1), maar snijdt toch echt nergens de x-as!
0, dan MOET er op het interval [a,b] minimaal 1 punt n bestaan waarvoor f(n) = 0. Dit komt omdat f(a) en f(b) niet aan dezelfde kant van de x-as liggen (niet beide positief of beide negatief), zodat de functiegrafiek ergens de x-as moet snijden. (Let wel: dat kan vaker dan eens gebeuren!)
0, maar daarmee krijg je de regula falsi methode niet helemaal goed uitgelegd omdat die daar juist mee werkt. Er zijn ook nog andere functies denkbaar waarmee je dit kunt doen. Belangrijk is dat je zeker weet dat de functie een snijpunt met de x-as heeft.