\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 36500

Re: Lengte van een kromme inhouden

(1) Waw, dat had ik wellicht zelf nooit gevonden! Bedankt!

(2)
Mijn excuses.
Hoewel ik moet toegeven dat ik er nog steeds bij 'vastloop' Bij de voirge oefeninge was er nog de mogelijkheid te vereenvoudigen. Hier echter niet...

Ik stel dus:
2x=tant
2dx=dt/cos²t
tan(x/2) en cosx=(1-t²)/(1+t²)
dx=2dt/(1+t²)

en zo wordt
(1/2)ò 1/cos^3(t) dt
= (1/2)ò(1+t²)^3/(1-t²)^3 * 2dt/(1+t²)

en na vereenvoudiging

= ò(1+t²)²/(1-t²)^3 dt
= ò (1+t^4+2t²)dt/(1-t²)^3

Deze breuk splitste ik dan op in partieelbreuken:
1/(1-t²) + (-4)/(1-t²)² + 4/(1+t²)² Maar dan... Dan 'loop ik rondjes' want zo blíjf ik maar spiltsen bv 1/(1-t²)^3, dan bekom je opnieuw een term met 1/N² enz enz Dit kan wellicht niet de bedoeling zijn?

Veerle
3de graad ASO - vrijdag 8 april 2005

Antwoord

Beste Veerle,

Ik vind hetzelfde na vereenvoudiging, op een factor 2 na (misschien ben je die van 2dt vergeten)?
Dus: 5ò(1+t²)²/(1-t²)³ dt

De noemer is dus van graad 6. Als je deze splitst in partiële breuken hoor je dus 6 breuken te krijgen, jij hebt er maar 3.
1-t² is immers te ontbinden in (1-t)(1+t) dus je hebt als noemer ((1-t)(1+t))³. De 6 noemers van de gesplitse breuken zijn dus deze 2 factoren, telkens tot zowel de 1e, 2e als 3e macht.

Ik vind het volgende (ik heb de factor 2 er al bijgenomen):
-1/(t-1)³ -1/(2(t-1)²) -1/(2(t-1)) +1/(t+1)³ -1/(2(t+1)²) +1/(2(t+1))

Deze zijn dan eenvoudig te integreren?

mvg,
Tom

td
vrijdag 8 april 2005

©2001-2024 WisFaq