Zij K bevat in K(a) een Galoisuitbreiding met groep G.Het minimumpolynoom van a over K, notatie f(a,Q) is dan gelijk is aan f=f(a,Q)=product[x-a_i], over alle s in G. Ik heb enkele vragen over het bewijs van deze uitspraak: Bewijs Volgens stelling 1 (onderaan):deg(f)=[K(a):K]. Volgens stelling 2(onderaan):#G=[K(a):K], dus we hebben dat #G=deg(f). f(a,Q) is het min polyn van a over K, dus a is een nulpunt.We schrijven nu f(a,Q)=som[c_n*x^n], van n=0 t/m deg(f), en c_n in K (Alle sommen gaan van n=0 t/m deg(f)),nu hebben we, f(s(a))=som[c_n*(s(a))^n] =som[s(c_n*a^n)] vraag1.Waarom is som[s(c_n*a^n)] gelijk aan som[c_n*(s(a))^n]? Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n=s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0 vraag2.Waarom is c_n=s(som[c_n*a^n)]) Dus s(a) is een nulpunt van f voor iedere s in G. vraag3.Waarom is dit zo? s wordt uniek bepaald door s(a), dus het aantal nulpunten van f is gelijk aan #G, want voor elke s in G heb zo'n nulplaat. deg(f)=#G en f=product[x-s(a)], over alle s in G.
Stelling1.Als a algebraisch is over K, dan is er een uniek monsich irreducibel polynoom f=f(a,Q) in K[x] dat a als nulpunt heeft.In dit geval is er een isomorfisme K[x]/(f)-K[a]=K(a) en deg(f)=[K(a):K].
Stelling2.Zij K bevat in L een eindige Galoisuitbreiding met Galoisgroep G.Dan geldt: De uitbreiding K bevat in L in normaal en seperabel.De Galoisgroep G is eindig van orde [L:K] en gelijk aan G=gal(L/K)=Aut_K(L).
Vriendelijke groeten, viky
viky
Student hbo - vrijdag 8 april 2005
Antwoord
Hallo Viky,
Eigenlijk hebben je drie vragen betrekking op een en dezelfde uitwerking:
f(s(a)) = cn(s(a))n wegens de definitie van f (hier staat dus eigenlijk een som voor n gaande van 0 tot degf) = cns(an) = s(cn)s(an) = s(cnan) = s(f(a)) = s(0) = 0
Wat werd hierin allemaal gebruikt? Wel, s is een automorfisme en voldoet dus aan de eigenschap s(ab)=s(a)s(b). Dat werd gebruikt in (s(a))n = s(a)s(a)...s(a) = s(aa...a)=s(an) en ook in s(cnan)=s(cn)s(an). Bovendien is s een K-automorfisme, dus s houdt elementen van K op hun plaats, vandaar dat s(cn)=cn, en ook s(0)=0.
Dit zou jouw vraag1 moeten beantwoorden. Vraag3 is dan duidelijk, want ik heb getypt: f(s(a)) = ... = 0, dat betekent toch niks anders dan dat s(a) een nulpunt is van f?
En dan vraag2: je typt "Omdat c_n in K is s(c_n)=c_n == s(som[c_n*a^n)])=s(f(a))=s(0)=0 vraag2.Waarom is c_n=s(som[c_n*a^n)])"
Dat gelijkheidsteken dat ik heb verdubbeld, staat dat echt zo in je cursus? Want dat lijkt me zeer sterk...
K[a]=K(a) en deg(f)=[K(a):K]. 
Re: Galoisuitbreiding 