\require{AMSmath}

Zwaartepunt piramide

hallo!
Wij zijn hopeloos op zoek naar een eenvoudig bewijs dat het zwaartepunt van een piramde met een vierkant grondvlak aantoont. We heben al gebruik van eerdere bewijzen op deze site (zwaartepunt piramide met willekeurig grondvlak, zwaartepunt piramide) maar die vinden we nogal ingewikkeld.
We weten dat het zwaartepunt op h/4 ligt maar hoe kunnen we dat nu eenvoundis aantonen?
Alvast bedankt!

wyckma
3de graad ASO - dinsdag 5 april 2005

Antwoord

Als je zegt dat het zwaartepunt op h/4 ligt bedoel je naar ik aanneem dat het zwaartepunt op een afstand van h/4 van het grondvlak ligt. Persoonlijk vind ik het makkelijker om aan te tonen dat het zwaartepunt op een afstand van 3/4h van de top ligt.

We kiezen een assenstelsel met de oorsprong in de top en de x-as loodrecht op het grondvlak. De zijde van het (vierkante) grondvlak noem ik p.
We denken ons de piramide opgedeeld in plakjes ter dikte dx. Het plakje op afstand x van de top heeft dan lengte en breedte p/h×x. De inhoud van dit plakje is dan p²/h²x²dx. Alle plakje samen hebben dan een inhoud ₀ò^hp²/h²x²dx=¹/₃p²h.
Als de piramide homogeen is is de totale kracht loodrecht op de x-as dus evenredig met ¹/₃p²h.
Het totale moment t.o.v. de oorsprong (de top) is dan ₀ò^hx×p²/h²x²dx=₀ò^hp²/h²x³dx=¹/₄p²h².
Voor de plaats van het zwaartepunt t.o.v. de top krijgen we dan moment/kracht=¹/₄p²h²/¹/₃p²h=³/₄h.
Dit klopt dus want de plaats t.o.v. het grondvlak is dan ¹/₄h.

hk
dinsdag 5 april 2005

©2001-2024 WisFaq