\require{AMSmath}

Bewijs door volledige inductie

Kunnen jullie mij soms helpen met de vraag: Hoe geef je een bewijs door volledige inductie?

Marijk
Student hbo - vrijdag 7 juni 2002

Antwoord

Het bewijs door volledige inductie bestaat altijd uit TWEE stappen.

Je begint met een stelling, een of andere wiskundige gelijkheid

1. laat zien dat deze stelling geldt voor n=1;
2. aangenomen dat de stelling geldt voor n, laat dan zien dat hij ook geldig is voor n+1


voorbeeldje:

De stelling luidt: å_i=1ⁱ⁼ⁿ (i) = ½n(n+1)

(ofwel 1 + 2 + 3 + ... + n = ½n(n+1) )

stap 1: laat zien dat de stelling klopt voor n=1:
1 = ½.1.(1+1) ..... KLOPT.

stap 2: als hij klopt voor n, moet hij ook voor n+1 kloppen:

å_i=1ⁱ⁼ⁿ⁺¹ (i) =
å_i=1ⁱ⁼ⁿ (i) + (n+1)
= ½n(n+1) + (n+1)
= ½n² + ½n + n + 1
= ½(n² + 3n + 2)
= ½(n+1)(n+2) = ½(n+1)((n+1)+1)

(waar eerst n'en stonden, staan nou n+1'en)

De zin van de combinatie van deze twee stappen, 1 en 2, is dat als het voor n=1 klopt, 't voor n=2 klopt,... maar als het voor n=2 klopt, dan klopt het voor n=3,.... maar klopt het voor n=3 dan zal het ook voor n=4 kloppen,.... enz, enz enz.
zo klopt het dus voor alle n.

groeten
martijn

Zie vraag 514

mg
vrijdag 7 juni 2002

©2001-2024 WisFaq