Als je een vraag als deze uit wil rekenen, welke moeilijkheden kom je dan allemaal tegen?
Wat is de kans bij een spel roulette dat je na 50 keer draaien 30 verschillende getallen hebt gedraaid?
ils
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 13 maart 2005
Antwoord
Dag Ils, Dat is best een interessante vraag. wel een beetje moeilijk. Ik liep er al een paar dagen over te denken toen me plotseling te binnen schoot dat ik bijna dezelfde vraag al eens eerder had beantwoord. Gelukkig wordt alles bewaard bij Wisfaq. Daar zorgt Willem van Ravenstein voor. Hier volgt de vraag en het antwoord dat ik toen gegeven heb Ik denk dat je daarmee geholpen zal zijn. (Overigens had je ook zelf in de antwoorden van Wisfaq kunnen zoeken. ) Succes en de groeten.
Roulette
Wat is de kans bij een spel roulette dat je na 25 keer draaien 18 verschillende getallen hebt gedraaid?
Bas Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 9 januari 2004
Antwoord
Hallo Bas, Een leuk probleem. Niet gemakkelijk. Eerst een beetje er aan ruiken. 18 verschillende nummers in 25 trekkingen lijkt een redelijk aantal. Dit zou betekenen dat van de 37 nummers 0,1,2,…36 er 19 niet getrokken zijn. Nu is voor ieder nummer de kans om niet getrokken te worden gelijk aan (36/37)^25 = 0,5041…,dus de kans om er wel bij te zijn is 0,4959. Dus de verwachting van het aantal verschillende nummers is gelijk aan 37 keer 0,4959 = 18,348.. Nu de kans op precies 18 verschillende nummers in 25 trekkingen (kansen zijn meestal moeilijker dan verwachtingen) Laat V(n) het aantal verschillende nummers zijn in n trekkingen. V(n) kan de waarden 1 t/m n aannemen (zolang n niet groter dan 37) Laten we beginnen bij het begin. V(1) = 1 dat is zeker en vast. Voor het gemak schrijven we P(n, k) voor de kans P(V(n) = k) V(2) = 1 met kans 1/37 en V(2) = 2 met kans 36/37.Dus P(2, 1) = 1/37 en P(2 ,2) = 36/37. Ook de kansen op de uiterste waarden 1 en n zijn eenvoudig: P(n,1) = (1/37)^(n -1) en P(n,n) = 36 * 35* …*( 37 – (n – 1))/ 37^(n –1) Verder kunnen we de kansverdeling van V(n) afleiden uit die van V(n –1) als volgt: Voor 1 k n geldt: P(n,k) = P(n –1, k –1)(37 – (k –1)) /37 + P(n –1, k)( k / 37) Bv, P( 15, 7) = P(14, 6 ) ( 31/ 37) + P(14, 7)( 7/ 37) Met behulp van deze relatie kun je de kans verdelingen van alle V(n) ‘s berekenen. Dit kun je leuk door de compuer laten doen. Misschien is het ook mogelijk om formules voor deze kansen te vinden, maar die zullen dan wel heel ingewikkeld worden. In ieder geval geldt voor de verwachting altijd iets eenvoudigs: E(V(n)) = 37( 1 – (36 /37)^n ) Ik hoop dat je hier wat aan hebt.
