\require{AMSmath}

Tweetal natuurlijke getallen

Ik heb nog een bewering waar ik echt niet uitkom nl deze:
Voor elk tweetal natuurlijke getallen n en k met kn is het getal n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1) deelbaar door k!=k·(k-1)·...·2·1
Ik kom er echt niet uit...!

Sophie
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 9 maart 2005

Antwoord

Het quotient van n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1) en k! is de binomiaalcoefficient C(n,k) (``n over k''). Door netjes uit te schrijven kun je laten zien dat C(n+1,k)=C(n,k)+C(n,k-1); verder geldt altijd C(n,0)=C(n,n). Nu kun je stap voor stap bewijzen dat C(n,k) altijd geheel is: C(2,1)=C(1,1)+C(1,0)=1+1=2, C(3,1)=C(2,1)+C(2,0)=2+1=3, enzovoort. Maar het feit dat C(n,k) geheel is betekent dat n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1) deelbaar is door k!.

kphart
vrijdag 11 maart 2005

©2001-2024 WisFaq