\require{AMSmath}

Verzameling toppen

Kan er een systeem worden ontdekt op wat voor soort grafiek de toppen liggen van Fp(x)= X^n + pX^(n-1)
en voor
Fp(x)= pX^n +X^(n-1)

Alvast bedankt

Gerrar
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 3 juni 2002

Antwoord

f_p(x)= xⁿ + p.x^n-1

De eis die je aan de top van een grafiek kunt stellen, is dat f_p'(x)=0
Dus we moeten eerst f_p'(x) vinden.

f_p'(x)= nx^n-1+p(n-1)x^n-2

nu de eis dat f_p'(x)=0 Û
nx^n-1+p(n-1)x^n-2 = 0
(delen door x^n-2)
nx + p(n-1) = 0 Û
p = -nx/(n-1) = nx/(1-n)

deze p substitueer je in de oorspronkelijke vgl. Zo krijg je de verzameling van punten waarop de toppen liggen:

y = xⁿ + {nx/(n-1)}.x^n-1 Û
y = xⁿ + {n/(n-1)}.xⁿ Û
y = xⁿ.{1 + n/(1-n)}
= xⁿ.{(1-n)/(1-n) + n/(1-n)}
= xⁿ.{1/(1-n)}
*****************************

Nu het 2e probleem, dat gaat op identieke wijze:

f_p(x)=pxⁿ + x^n-1

f_p'(x)= np.x^n-1+(n-1)x^n-2

f_p'(x)= 0 Û
np.x^n-1+(n-1)x^n-2=0 Û
npx + (n-1) = 0 Û p = (1-n)/nx
deze p invullen in de oorspronkelijke functie:

y ={(1-n)/nx}.xⁿ + x^n-1
={(1-n)/n}.x^n-1 + x^n-1
= x^n-1.{(1-n)/n + 1}
= x^n-1.{(1-n)/n + n/n}
= x^n-1.1/n

groeten,
Martijn

mg
dinsdag 4 juni 2002

©2001-2024 WisFaq