Aantal oplossingen derdegraagsvergelijking coëfficiënten
Voor een PO moet ik de volgende opdracht maken:
Onderzoek hoe het aantal oplossingen van de vergelijking ax3 + bx2 + cx = 0 afhangt van de coëfficiënten a, b en c
Alvast bedankt
Simon
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 9 maart 2005
Antwoord
Merk op dat ax3 + bx2 + cx = 0 overeenkomt met
x (ax2 + bx + c) = 0. x=0 is dus altijd een oplossing; als er meer oplossingen zijn, zijn dat oplossingen van ax2+bx+c=0. Hoeveel en welke oplossingen die laatste vergelijking heeft, kunnen we vinden met de abc-formule.
Meer specifiek, deze heeft: · geen oplossing als b2-4ac0 · een oplossing als b2-4ac=0 · twee oplossingen als b2-4ac0
Hier tellen we dan de ene oplossing x=0 aan toevoegen, maar we moeten dan wel opletten dat x=0 niet al 1 van de oplossingen van ax2+bx+c=0 is. Dit is wel het geval (denk aan de abc-formule) als -b = Ö(b2-4ac) of -b = -Ö(b2-4ac). Dat is gemakkelijker op te lossen dan het eruitziet: Als 4ac0 is Ö(b2-4ac) |b|, en als 4ac0 is Ö(b2-4ac) |b|, dus alleen het geval 4ac=0, oftewel a=0 of c=0 levert de oplossing 0 op.
a=0 is een geval dat we sowieso apart moeten nemen, dus gaan we eerst het geval a¹0 bekijken:
· als a¹0 en b2-4ac0 is er 1 oplossing · als a¹0, c=0 en b2-4ac=0, dat wil zeggen, als a¹0, b=0, c=0, is er ook 1 oplossing. · als a¹0, b2-4ac=0 en c¹0 zijn er 2 oplossingen · als a¹0, b2-4ac0 en c=0, dat wil zeggen, als a¹0, b¹0 en c=0, zijn er ook 2 oplossingen · twee oplossingen als b2-4ac0 en c¹0
Nu het geval a=0. Dan wordt de vergelijking:
bx2 + cx = 0
Die kunnen we eenvoudig oplossen: Naast de oplossing x=0 hebben we nu ook de oplossing x=-c/b. Dit levert een andere 0 op als c=0, terwijl b=0 een nieuwe uitzondering vormt. Dan krijgen we cx=0, wat 1 oplossing heeft, tenzij c=0, dan zijn er oneindig veel oplossingen (de vergelijking degenereert tot 0=0).
Samenvattend: · Als a=b=c=0 zijn er oneindig veel oplossingen · Als precies 2 van de getallen a,b,c gelijk aan 0 zijn, is er 1 oplossing · Als a of c gelijk is aan 0, maar de andere 2 getallen niet, zijn er 2 oplossingen · Als a¹0 en c¹0, is het aantal oplossingen afhankelijk van de determinant b2-4ac: ·· Is die kleiner dan 0, dan is er 1 oplossing ·· Is die gelijk aan 0, dan zijn er 2 oplossingen ·· Is die groter dan 0, dan zijn er 3 oplossingen
0
0