Sinds vorige week heb ik veel nagedacht over een stuk uit de krant 'Metro'. Het verhaal is als volgt:
Bij een spelshow mag je kiezen uit 3 gordijnen waarachter maar één van deze een prijs zit. Nou kies je voor nummer 1. Vervolgens opent de spelleider het 2e gordijn en daarachter zit geen prijs. Vervolgens vraagt hij of je nog wilt wisselen van het 1e naar het 3e gordijn of niet. Nou wordt er in dat stuk bewezen geacht dat de kans vergroot wordt als je wisselt naar het 3e gordijn. Deze kans zou dus groter zijn dan wanneer je bij het 1e gordijn zou blijven. Het vervelende is dat de schrijfster zegt dat het bewezen is, maar het zelf niet uit kan leggen. Kunt u mij vertellen of het inderdaad klopt of dat het op een 50/50 kans uitkomt. Ik kan het niet bewijzen. Bij voorbaat dank
Mikel
Student universiteit - maandag 7 maart 2005
Antwoord
Het bewijs is eigenlijk heel eenvoudig:
Aanvankelijk kon je tussen 3 gordijnen kiezen. Je hebt 1/3 kans dat je het goede gordijn hebt gekozen, en dus 2/3 dat je dat niet hebt gedaan. Als vervolgens een ander gordijn geopend wordt, verandert die kans niet. Er is dus nog steeds 2/3 kans dat je het verkeerd hebt gedaan. En dus 2/3 kans dat wisselen goed is.
Om dit zo te laten zijn, moet er overigens wel aan een aantal voorwaarden worden voldaan. In het algemeen wordt bij deze opgave de volgende situatie bedoeld:
* Je kiest een gordijn * Welk gordijn je ook kiest, een van de andere gordijnen wordt geopend, en altijd een gordijn waar geen prijs achter staat * Vervolgens krijg je de kans te wisselen
Als dit het geval is, dan geldt de kans van 2/3.
Zou het daarentegen zo zijn dat: * Je kiest een gordijn * Welk gordijn je ook kiest, een van de andere gordijnen wordt geopend. Als je een gordijn zonder prijs had gekozen, zal in 50% van de gevallen een gordijn met, in 50% van de gevallen een gordijn zonder prijs worden geopend * Als een gordijn zonder prijs is geopend, dan krijg je de keuze te wisselen
Dan is de kans inderdaad 50%.
Om het geheel naar berekeningen te brengen:
Zij A het nummer van het gordijn met de prijs, B het nummer van het aanvankelijk gekozen gordijn en C het nummer van het geopende gordijn. Wat we willen weten is P(A=3 | B=1 & C=2) (ik neem aan dat je voorwaardelijke kansen in elk geval al eens gezien hebt).
We nemen aan: * A en B zijn onafhankelijk * P(A=1)=P(A=2)=P(A=3)=1/3 * P(C=2 | A=3 & B=1) = 1 (d.w.z.: als de prijs achter gordijn 3 zit en we kiezen gordijn 1, wordt gordijn 2 altijd geopend) * P(C=2 | A=1 & B=1) = 1/2 (d.w.z.: als de prijs achter gordijn 1 zitten, en we kiezen dat gordijn ook, wordt de helft van de keren gordijn 2 geopend, en de helft van de keren gordijn 3) * P(C=2 | A=2) = 0 (d.w.z.: als de prijs achter gordijn 2 zit, wordt gordijn 2 niet geopend)
Ten opzichte van de aannames die we al hebben is de vierde aanname extra; het zegt dat als er gekozen kan worden welk gordijn er wordt geopend, er geen voorkeur voor gordijn 2 of 3 is).
