hoi ik heb een vraagje ivm deelvectorruimten: als W1 en W2 deelruimten zijn van V, wat zijn dan de nodige en voldoende voorwaarden opdat W1 unie W2 een deelruimte zou zijn? mvg bruno
Bruno
Student universiteit België - zondag 6 maart 2005
Antwoord
Hallo Bruno,
Het deelruimtecriterium zegt dat een (nietlege) deelverzameling W van een vectorruimte V, een deelruimte is van V als en slechts als: elke lineaire combinatie van twee elementen van W zit weer in W.
1. Gegeven: W1 È W2 is een deelruimte. Stel nu eens dat W1 geen deelverzameling is van W2, en ook niet omgekeerd. Dus er bestaat een w1 in W1 die niet in W2 zit, en er bestaat een w2 in W2 die niet in W1 zit.
w1+w2 zit wegens het deelruimtecriterium in de unie W1ÈW2. Dus bv in W1 (geval W2 verloopt volledig analoog). Dan heb je dat w1+w2 en -w1 allebei in W1 zitten, en dus ook hun som (=w2) zit in W1. Dat is een strijdigheid. Conclusie: de onderstelling dat W1 Ë W2 EN W2 Ë W1 is fout.
2. Omgekeerd: als W1ÍW2 of omgekeerd dan is de unie van de twee gelijk aan de grootste, en is dus een deelruimte.
Voilà, dus een nodige en voldoende voorwaarde opdat de unie van twee deelruimtes een deelruimte is, is dat de ene deelruimte bevat is in de andere.
Re: Deelruimten
