\require{AMSmath}

Voorbeelden van de rij van Fibonacci

Ik ben op zoek naar voobeelden van waar je fibonacci-rijen zoal tegen komt. Zou u dit misschien aan mij kunnen vertellen met een voorbeeld erbij (ik snap namelijk dat je fibonacci-rijen kunen ontdekken in de eigen hand of in een annanas)alvast bedankt!

lotte
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 2 juni 2002

Antwoord

Als de straal van de cilinder r heet en de hoogte h, dan geldt volgens Pythagoras (2r)² + h² = 60².
Uitgewerkt geeft dat 4r² + h² = 3600 (*)

De inhoud van de cilinder is: I = p.r².h
Deze functie moet je vervolgens maximaliseren.
Daarvoor is het absoluut noodzakelijk dat er nog maar één variabele in voorkomt; of het nou de r of de h is doet niet terzake.
Uit de formule met het sterretje maak je nu de r² vrij.
Dat levert op: r² = 900 - ¼.h²
(je maakt niet de h² vrij omdat er in de formule voor de inhoud geen h² maar slechts h voorkomt).
Vul dit nu in je inhoudsformule in:

I = p.(900 - ¼.h²).h ofwel I = p(900h - ¼h³)

Het stukje tussen de haakjes is een derdegraads functievoorschrift, waarvan je nu het maximum moet bepalen. Dat kan je doen met de techniek van het differentiëren, of je voert de formule in een grafische rekenmachine in en laat de techniek het werk voor je doen.
Bedenk wel dat h uiteraard positief moet zijn, maar ook kleiner dan 60 (anders is de cilinder groter dan de bol!)
Ik vond een maximum bij h = 34,6

Zie Fibonacci Numbers and Nature

WvR
zondag 2 juni 2002

©2001-2024 WisFaq