christ
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 1 juni 2002
Antwoord
Ontbinden is: kijken of je van een optelling/aftrekking een vermenigvuldiging kunt maken. Er zijn, globaal gesproken, twee situaties waarin dat soms kan. Een paar voorbeelden van beide:
I. 2a2b3 - 6ab2 Kijk de getallen aan en bepaal wat het hoogste getal is waardoor je ze kunt delen. Dat is in dit geval duidelijk 2. Nu de letters a. Ze moeten in elke term voorkomen, hetgeen hier het geval is. Kijk nu wat het kleinste aantal a's is dat ergens voorkomt. Dat is in dit geval 1a, namelijk in de tweede term. Nu de b's. Ze komen overal voor en het kleinste aantal is b2 Zet nu die 2, die a en die b2 vóór de haakjes en kijk wat er van elke term 'overblijft'. Je krijgt: 2ab2(ab - 3). Haakjes wegwerken doet het oorspronkelijke weer terug komen.
Tweede voorbeeld: 15a - 3ab De getallen kun je maximaal delen door 3. De letter a komt overal voor, maar in beide termen slechts één keer. Zet dus één a voor de haakjes. De b komt niet overal voor en daar kun je dan niks mee beginnen. Kortom: het is een weinig spectaculaire ontbinding namelijk: 3a(5 - b). Haakjes wegwerken en je krijgt de beginvorm weer terug.
II. Een kwadratische vorm is soms ook te ontbinden. Neem bijv. x2 + 12x + 11 (de volgorde van de termen moet wel in orde zijn!) Kijk nu naar het laatste getal, hier dus 11. Probeer 11 nu te schrijven als product van twee getallen die, bij elkaar opgeteld, 12 opleveren (dus het middelste getal). Nu kun je met 11 niet zoveel, want het is een priemgetal. 11 = 11.1 of 11 = -1.-11 Omdat 11 + 1 = 12, zijn dit de twee bedoelde getallen. De ontbinding is dan mogelijk, namelijk (x + 1).(x + 11)
Nog een voorbeeld: x2 - 4x - 12 Het laatste getal -12 moet je zó zien te splitsen dat de optelling van die twee getallen - 4 wordt. Nu zijn er voor -12 meerdere mogelijkheden, bijv. -12 = -12.1 of -12 = -4.3 en zo zijn er nog wel een paar te vinden. Maar optellen van deze getallen levert geen -4 op. Het lukt wel met de splitsing -12 = -6.2, want -6 + 2 = -4. De ontbinding is dan mogelijk: (x - 6).(x + 2)
Dit leer je natuurlijk niet met even een paar voorbeeldjes; het kost heel veel leerlingen grote moeite om de goede combinatie te vinden, en bovendien is het nooit zeker of er überhaupt wel een ontbinding mogelijk is. Daarnaast zijn er nog allerlei vormen te bedenken die met slimme trucjes óók ontbindbaar blijken te zijn. Het is helaas wel belangrijk dat je er enige handigheid in ontwikkelt, want het is vaak de enige mogelijkheid om een vergelijking op te lossen. Sterkte ermee, en als het niet goed gaat, kom dan rustig nog een keer terug!
