Voor mijn practische opdracht wiskunde over bewijs, moet ik onder andere uitleggen welke manieren van bewijzen er zijn. Hiervoor heb ik dankbaar gebruik kunnen maken van de informatie op Uw site. Wat mij echter niet duidelijk is, is wat axioma's nu zijn. In de database vond ik deze vraag ook met een link naar een (engelse) site, waarop het begrip axioma uit werd gelegd, alleen is het mij na die uitleg nog niet helemaal duidelijk wat axioma's nu zijn. Zou U dit nog een keer uit kunnen leggen?
Tim Wi
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 1 juni 2002
Antwoord
Een axioma is een bewering waarvan men, zonder verder bewijs, de waarheid accepteert. Als voorbeeld: indien er twee verschillende punten A en B gegeven zijn dan is de uitspraak 'door A en B gaat precies één rechte lijn' een voorbeeld van een axioma. Op basis van de ons omringende natuur hebben we het idee dat er inderdaad maar één zo'n lijn mogelijk is; iets anders kunnen we ons haast niet voorstellen. We accepteren de uitspraak dan ook als iets vanzelfsprekends. Ander axioma, uit de getallenwereld: elk natuurlijk getal heeft een onmiddelijke opvolger. Logisch, zul je zeggen. Maar dat zeg je omdat je niet beter weet. Bewijzen van de uitspraak wordt niet gedaan. Wie deze en andere axioma's echter niet als vanzelfsprekend beschouwt, kan een totaal andere wiskunde opbouwen dan de gebruikelijke (of hij loopt hopeloos vast, omdat hij de voor de hand liggende dingen niet aanvaardt). Overigens is uit het niet-aanvaarden van het bovenvermelde axioma van de ene lijn door A en B een volslagen waterdichte meetkunde op te bouwen. Deze komt dan niet meer met de ons omringende wereld overeen, maar de interne logica is 100 % in orde.
