Hoe kan je de primitieve f(x)=(x2-4x-5)2 bepalen met behulp van de kettingregel, en zijn er ook ander manieren?
Peter
Student hbo - woensdag 29 mei 2002
Antwoord
Rechtstreeks kan het niet, tenzij je een trucje gebruikt. Maar dat moet je dan wel nét zien.
Het simpelst is hier natuurlijk de uitwerking van de haakjes; het is uiteindelijk maar een kwadratische vorm.
Eerst even over de onmogelijkheid om het rechtstreeks te doen. Je denkt natuurlijk aan een primitieve die de vorm (x2-4x-5)3 bevat. Als je dit echter differentieert, dan kun je de exponent 3 wel neutraliseren met het getal 1/3, maar de kettingregel geeft dan óók nog de factor (2x-4), en die kun je niet wegmoffelen met een breuk van de vorm 1/(2x-4)! Zie je eigenlijk in waaróm dat niet kan?
Dan nu met het trucje: schrijf de functie als volgt:
f(x) = ((x-2)2-9)2 ofwel als
f(x)=(x-2)4 - 18(x-2)2 + 81.
Hoe kom je daar nu op?, zul je je afvragen. Wel, tussen de haakjes zie je staan x2-4x en dat doet je dan misschien denken aan het kwadraat van (x-2).
Het probleem is daarmee opgelost: omdat de afgeleide van (x-2) simpel gelijk is aan 1, kun je nu probleemloos integreren; de kettingregel gooit geen roet meer in het eten, tenzij je dat getal 1 roet wilt noemen.
Dus het stukje (x-2)4 wordt dan 1/5.(x-2)5 enz.
Dit soort grappen heeft natuurlijk alleen maar zin als je het toevallig ziet én het moet niet boven het kwadraat uitstijgen. Als je oorspronkelijke functie tot bijv. de macht 5 moest worden genomen, dan zou ook deze truc niet meer probleemloos werken. Integreren: steeds weer uitdagend en soms gewoon hartstikke trucmatig!
