\require{AMSmath}

Problemen met een formule

Hallo,
We zijn met een onderzoek bezig en moeten daarvoor een formule oplossen..We komen alleen niet meer veder..

we hebben de formule:

m u" + k u'+ c u = F0 cos w t
Voor de u gebruiken we:

u= A e ^ (i w t) + B e ^( – i w t)

vullen we dit in en schrijven we dit helemaal uit dan vinden we:

u(t)= (^F0/_{( -m w² + c)² + w² k²})[ ( - m w² + c) cos w t + w k sin w t ]

nu willen we dit schrijven als:

u(t)= ..... cos ( wt - ....)

alleen hier komen we niet uit, kunt u ons helpen?

alvast bedankt

Erik d
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 20 februari 2005

Antwoord

Laat ik om te beginnen even een paar dingen ietsje anders schrijven:
1. voor u gebruik ik x (want u gebruik ik vaak voor snelheid en x voor plaats)
2. voor de afgeleide naar de tijd is het gangbaar om een puntje boven de variabele te plaatsen; voor de dubbele afgeleide naar de tijd 2 puntjes.
Op deze manier ziet jou differentiaalvergelijking er als volgt uit:



zou jouw systeem čn ongedempt zijn (k=0) en geen forcering kennen (F₀=0) dan zou gelden voor de trilling gelden die de massa zou uitvoeren dat w²=c/m. Omdat dit de "natuurlijke frequentie" genoemd wordt, duiden we c/m aan met w₀²

Ik zie dat je al van complexe getallen en -e-machten gehoord hebt. Dan is het het slimst om de forceringsterm (F₀/m.coswt) te schrijven als een complexe e-macht: (F₀/m.e^iwt)
waarbij uiteraard alleen het reële gedeelte relevant is: Re(F₀/m.e^iwt)

zodoende krijgen we


We substitueren nu een oplossing x(t)=A.e^iwt waarbij A i.h.a. complex is. (dit impliceert dat de oplossing x(t) wčl dezelfde frequentie heeft als de forceringsterm, maar er NIET noodzakelijk mee in fase hoeft te zijn)
invullen van de oplossing x(t) in de dv levert:


je ziet dat we aan weerszijden de e^iwt term kunnen verwijderen:


Nu volgt een beetje rekenwerk om een uitdrukking voor A te vinden:


Zoals je ziet, is A van de vorm a+ib.
Verder kun je zien dat wanneer de forceringsfrequentie w gelijk is aan de natuurlijke frequentie w₀, dat dan de amplitude maximaal is. (wat je verwacht bij het verschijnsel "eigenfrequentie")

Omdat we alleen het reele gedeelte van de forceringsterm relevant is zijn we ook alleen in het REELE gedeelte van de oplossing x=A.e^iwt geďnteresseerd:


Het uitwerken van die laatste term laat ik dan even aan jouzelf over.
hopelijk ben je hiermee een beetje op gang geholpen.

groeten,

martijn

mg
maandag 21 februari 2005

©2001-2024 WisFaq