\require{AMSmath}

Getallen

15=7+8. ; elk getal kun je als som van 2 of meer opvolgende natuurlijke getallen schrijven .1+2+3+ ... +10=55 enzovoort .
MAAR bij machten van 2 lukt dat niet ! 2; 4; 8 ; enz Waarom kan dat niet ???

Hans V
Docent - zaterdag 19 februari 2005

Antwoord

Hallo,
Leuke vraag wel...

Allereerst kan je vrij snel een methode vinden om zo een som te maken in de gevallen dat het wel lukt, immers:
- voor oneven getallen (2n+1) volstaan n en n+1
- voor even getallen die een oneven factor bevatten (die zijn dus van de vorm 2^km met m oneven), kan je de m opeenvolgende termen met middelste waarde 2^k opschrijven. Bijvoorbeeld: 56 = 8*7, dus schrijf 7 termen met middelste waarde 8, dat is dus 5,6,7,8,9,10,11. De som daarvan is 7*8=56. Het kan zijn dat je te maken krijgt met negatieve termen, maar die kan je dan schrappen, bv 18 = 2*9, dus schrijf de termen -2,-1,0,1,2,3,4,5,6 en schrap dan die eerste vijf termen (som is toch nul), zodat je 3+4+5+6 overhoudt.

Rest nog de vraag: waarom kan het in de overblijvende gevallen niet, dus dat zijn enkel nog de machten van 2. Ik zou het bewijs zo aanpakken:
- stel dat het lukt met 2 termen, dus een even en een oneven, som is oneven dus dat gaat nooit.
- met 3 termen: de som van drie opeenvolgende getallen is gelijk aan 3 maal het middelste getal, dus is een drievoud, dat kan dus niet.
- analoog toon je aan dat het nooit kan met eender welk oneven aantal termen.
- ook de som van 6 opeenvolgende getallen kan je schrijven als twee keer de som van drie opeenvolgende getallen, dus is altijd een drievoud.
- analoog: als je de som hebt van m termen, en m is deelbaar door een oneven getal, dan zal die som ook altijd deelbaar zijn door dat oneven getal, en zo kan je dus nooit een macht van 2 bereiken.
- we moeten dus op zoek naar 2^k opeenvolgende getallen, met k1 en met som 2^m. Logischerwijs is mk. Het gemiddelde van die getallen is dan natuurlijk 2^m/2^k = 2^m-k is een natuurlijk getal. Maar het gemiddelde van een even aantal (zeg 2t) opeenvolgende getallen, is altijd gelijk aan het gemiddelde van het t'de en het (t+1)'de getal, dus is het gemiddelde van twee opeenvolgende getallen en is dus geen natuurlijk getal.

Hiermee is elke mogelijkheid uitgesloten om een macht van 2 te schrijven als som van opeenvolgende natuurlijke getallen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 19 februari 2005

©2001-2024 WisFaq