We weten dat een rechte die door het dubbelpunt van een ontaarde kegelsnede gaat oneindig veel polen heeft. Ze vormt met de twee componenten c1 en c2 drie rechten van een vierstraal (c1,c2,d,d') waarvan de vierder rechte d' zo kan gekozen worden dat (c1c2dd')=-1 (dus harmonisch) Alle punten van d' zijn dan polen van d.
Nu is mijn vraag hoe ik zoiets kan construeren. Dus je hebt 2 rechten (componenten) die elkaar snijden in een punt= dubbelpunt. Door dit dubbelpunt trekken we een (willekeurige?) rechte maar hoe moet je dan de rechte d' tekenen zodat ze samen een harmonische vierstraal vormen?
Kan iemand me dit uitleggen hoe ik dit precies kan aanpakken aub?
Akvast bedankt!
Wendy
3de graad ASO - zaterdag 19 februari 2005
Antwoord
Dag Wendy,
In onderstaande figuur zijn de lijnen c1, c2 en d getekend. Deze 'driestraal' (met top T) wordt gesneden met een willekeurige lijn (een 'transversaal' van de bundel T). Dat geeft de punten C1, C2, D. We moeten nu op die transversaal bij die punten het punt D' construeren zo, dat (C1C2DD') = -1 Wel, de (mijns inziens) eenvoudigste constructie daarvoor is: - teken door C2 een lijn evenwijdig met de lijn c1; - deze lijn snijdt de lijn d in het punt P; - Q ligt zo op PC2, dat |PC2| = |QC2|; - de lijn OQ is dan de gezochte vierde straal. Te bewijzen is nu (nog) dat op basis van deze constructie inderdaad geldt, dat (C1C2DD') = -1.
