\require{AMSmath}

Rotaties met vectoren

De eerste vraag lukte nog wel:
1) Laat zel met een tekening zien dat de som an de rotatiebeelden van willekeurige vector a en b gelijk is aan het rotatiebeeld van de som vector.
Maar dan
2)Bewijs dat de rotatie om de oorsprong met 45 graden als volgt kunt weer geven: R: x - 0,5 wortel(2(x-y)) en Y - 0,5 wortel (2(x+y))
3) Laat zien dat de afbeelding S: R2-R2 waarbij elke plaatsvector gespeigeld wordt in de lijn y = 0,5x een lineaire afbeelding is.
4) is elke lijn spiegeling in R2 een lineaire afbeelding?
5) en hoe zit dat met puntspiegelingen?
6) Neem de afbeelding V: R2-R2 die elke plaatsvector verschuift over de vector (10,0): V: x- x + 10, Y- y. Laat zien dat deze afbeelding niet lineaire is.
7) Bewijs dat g*f (x+y)= g(f(x+y))=g(f(x) + g(x))= g(f(x)+G(f(y))= g*f(x) + g*f(y), Hierbji zijn de scalaire vermenigvuldiging in Q3 gelijk aan elkaar.

Ik zie in geen van deze vragen iets. Ik hoop dat je me kan helpen
groetjes, jantine

jantin
Student hbo - vrijdag 11 februari 2005

Antwoord

2) Als we een draaiing van 45 graden om de oorsprong doet, wordt de lijn y=0 afgebeeld op de lijn x=y. Het punt (0,x) komt dus terecht op een punt (a,a). Maar wat is de waarde van a? De afstand van de oorsprong tot (a,a) is gelijk aan Ö(a²+a²)=Ö2·a. Ö2·a=x levert a=0.5Ö2·x. Dus (x,0) gaat over in 0.5Ö2·(x,x). Op vergelijkbare wijze krijgen we dat (0,y) overgaat in 0.5Ö2·(-y,y), en samen met de eerste opgave levert dit dat (x,y) overgaat in 0.5Ö2·(x-y,x+y).
Je hebt trouwens blijkbaar een foutje gemaakt in het lezen van de opgave, de uitkomst is niet x - 0,5 wortel(2(x-y)), maar x - 0,5 wortel(2)(x-y), en evenzo voor y.

3) Gegeven een punt (x,y); waar komt deze terecht na spiegeling

4-6) Gebruik de regel ¦l(x)=l¦(x) voor de nulvector x. Hieruit kun je afleiden dat elke lineaire afbeelding de nulvector op zichzelf afbeeldt. Geen van de afbeeldingen in 4-6 doet dit, dus zijn ze niet lineair.

7) Dit is (na een correctie van wat je schrijft) een invuloefening:

g*f(x+y) = g(f(x+y)) bij definitie van *
g(f(x+y)) = g(f(x) + f(y)) omdat f lineair is, en dus f(x+y)=f(x) + f(y)
g(f(x) + f(y)) = g(f(x)) + g(f(y)) omdat g lineair is (bovenstaande regel met f(x) en f(y) voor x en y ingevuld)
g(f(x)) + g(f(y)) = g*f(x) + g*f(y) bij definitie van *

AE
woensdag 2 maart 2005

©2001-2024 WisFaq