\require{AMSmath}

Bepaal het volledige verloop

hallo wij hebben een oefening gekregen waarvan we het volledige verloop moeten berekenen. Ik heb hier enkele vraagjes over. Ik zal eveneens erbij zetten wat ik al berekend hebt mss vindt u dan daaruit mijn fout wel...

1) domein : xÎ/(ln 2 )
2) snijpunten x as dwz y= 0
dus 2x(e^x) = 0
ik weet nu niet hoe ik via berekening de x hier kan uithalen
ik heb de functie in mijn grafisch rt ingegeven en vind als snijpunt met x as (0,0)
3) snijpunt y as is dus ook (0,0)
4 )asymptoten
VA : x = ln 2
HA : voor x gaande naar +00 : geen
voor x gaande naar -00 : y=0
SA : voor x gaande naar + 00 : y= 2x
5) de eerste afgeleide

ik heb de eerste afgeleide berekend en deze proberen te vereenvoudigen, volgens mij kan ik de eerste afgeleide niet meer eenvoudiger schrijven

y'= ((2(e^x)) ((e^x) -2 -2x)) / ((e^x) - 2)² y' = 0 dwz teller is 0

ik weet weer niet hoe ik via berekening de x uit de teller kan halen
ik heb weer beroep gedaan op mijn RT en daar zie ik dat er een minimum is voor de waarde x = 1,678...

6) de tweede afgeleide krijg ik echter niet bepaald , ik krijg een hele lange afgeleide waarbij ik niet weet hoe ze te vereenvoudigen om er vervolgens de x uit te halen

ik heb

y" = (((2e^x)*((e^x)-2-2x)+ (2e^x)*((e^x)-2)) * ((e^x)-2)²) - ((2e^x)* ((e^x)-2-2x)) * (2e^x * ((e^x)-2)) / (e^x-2)^4

ik moet eveneens de ligging bepalen van de kromme tov de VA maar ik ben vergeten hoe dit moet kunnen jullie me op weg helpen aub ?
bedankt!

nicky
3de graad ASO - woensdag 9 februari 2005

Antwoord

2) Aangezien e^x 0 voor elke x, kan alleen de factor x voor de nulpunten zorgen, dus x=0 is het enige nulpunt (en voor die waarde is y inderdaad ook nul)

5) De nulpunten kunnen enkel uit e^x-2-2x komen, maar dat is inderdaad een vergelijking die je niet zomaar kan oplossen. Je zou wel het verloop van e^x-2-2x kunnen bestuderen om uitspraken te kunnen doen over de ligging en het aantal nulpunten. Er is trouwens ook een negatief nulpunt van de eerste afgeleide.

6) Voor de tweede afgeleide gelden in principe dezelfde opmerkingen als voor de eerste.

Hoe de functie zich gedraagt in de buurt van de verticale asymptoot zal afhangen van de linker/rechterlimiet als x-ln(2). In de buurt van ln(2) is de teller steeds positief, de noemer gaat van negatief, over nul, naar positief. De breuk zelf gaat dus eerst naar -oo (en niet gedefinieerd voor x=ln(2)) en komt dan weer te voorschijn vallen uit +oo, aan de rechterkant van de VA.

Dergelijke redeneringen kunnen je trouwens ook helpen wat het verdere verloop betreft: je weet dat de functie positief is voor x<0 en naar nul gaat (zowel teller als noemer zijn negatief), dat ze door de oorsprong gaat, en de -oo-heid in dondert in de buurt van de asymptoot. Dat moet je eens proberen tekenen zonder ergens een maximum bij een negatieve x ;-)

cl
woensdag 9 februari 2005

©2001-2024 WisFaq