Voor ieder tweetal algebraïsche getallen a en b, met a ongelijk aan 0,1 en b niet in Q (rationale getallen), is a^b transcendent.Ik wil uit dit resultaat afleiden dat 2^sqrt2, log3/log2 en e^pi transendent zijn: 1. 2^sqrt2: 2 is ongelijk aan 0 en 1, sqrt2 zit niet in Q, dus is 2^sqrt2 transcendent. 2.log3/log2, hier begrijp ik niet wat ik moet doen. 3.e ongelijk aan 0 of 1, pi niet in Q, dus e^pi is transcendent.Is dit wel juist?Zit er niet meer achter?
Groeten, Viky
viky
Student hbo - dinsdag 1 februari 2005
Antwoord
Hoi Viky...
1. is correct.
3. Hier maak je een redeneringsfout want e noch pi zijn algebraisch. Waarschijnlijk werd dit bedoeld: uit het ongerijmde, stel dat ep algebraisch is. i is duidelijk ook algebraisch als wortel van X2+1 (zie trouwens ook je andere vraag ) en zit niet in . Volgens je stelling zou dan (ep)i transcendent zijn, maar (ep)i = -1, dus duidelijk niet transcendent. Conclusie: de veronderstelling was fout, dus ep is transcendent.
2. Noem a = log3/log2. Wegens rekenregels voor logaritmen geldt dan: a = 2log3. Per definitie van log geldt dus: 2a=3. - Stel dat a algebraisch is en niet in zit. Dan kan je je stelling toepassen en besluiten dat 3 transcendent is, dat kan dus niet juist zijn. - Stel dat a algebraisch is en wel in zit. Dus a=m/n met m en n onderling ondeelbaar, niet nul, geheel. 2a=3 dus 2(m/n)=3 dus 2m=3n. Een gehele macht van twee die gelijk is aan een gehele macht van 3? Vergeet het maar... Dus ook dit geval kan niet. - Enige overblijvende mogelijkheid: a is niet algebraisch dus transcendent.
) en zit niet in 
. Volgens je stelling zou dan (ep)i transcendent zijn, maar (ep)i = -1, dus duidelijk niet transcendent. Conclusie: de veronderstelling was fout, dus ep is transcendent. 