Een element a in een uitbreidingslichaam L van K heet algebraïsch over K als er een monisch polynoom f in K[x] bestaaat met f(a)=0. Bekijk de uitbreiding Q (rationale getallen) bevat in C (complexe getallen).Dan is bijvoorbeeld de primitieve n-de eenheidswortel z_n=e^(2pi/n) een algebraïsch getal voor n=1.De polynoom in Q[x] die dit element als nulpunt heeft is (X^n)-1.Dit polynoom is reducibel voor n1.Nu wil ik irreducibele polynomen in Q[x] vinden met nulpunt e^(2pi/n) voor 1=n10.Ik heb zelf het volgende:
n=1: e^2pi=cos(2pi)+isin(2pi)=1, dus hier is het irr polynoom X-1. n=2: e^pi=-1, dus hier voldoet X+1. n=3: e^(2pi/3)=-1/2+)1/2sqrt3)i, en nu? n=4: e^(pi/2)=i, ? Bij n=5 t/m 9 loop ik vast net als bij n=3 en 4.
Vriendelijke groeten, Viky
viky
Student hbo - dinsdag 1 februari 2005
Antwoord
Hoi Viky,
Vooraf: bij n=4 zou je toch mogen denken aan de definierende eigenschap van i, namelijk i2=-1. Dus zal de gezochte polynoom voor i zijn: X2+1. En ook bij n=3 had je verder kunnen raken: je wist al dat de gezochte polynoom een deler is van X3-1, wel als je hieruit X-1 wegdeelt kom je iets kwadratisch uit, en dat is wat je zoekt (je zal natuurlijk voor elke n 2 een veelterm van graad minstens 2 uitkomen, want de primitieve eenheidswortels zijn complexe getallen en dat kunnen dus geen oplossingen zijn van eerstegraadsvergelijkingen...)
Hierover is nogal veel te vinden op het internet... Hier staat dat je het hebt over cyclotomische veeltermen. (NB etymologisch: cyclo=cirkel, tome=delen, dus je verdeelt een cirkel in n gelijke delen...) Hoe je die moet opstellen voor willekeurige n staat er ook bij: je neemt alle primitieve n-demachtswortels. Dat zijn dus die wortels die, als je ze tot de n-de macht doet, 1 geven, maar die nooit 1 geven als je ze tot de m-de macht doet met 0 m n.
Voorbeeld: voor n=6 zijn e^(2pi/6) en e^(5*2pi/6) de enige wortels die je moet bekijken. Voor n = priem moet je er dan weer n-1 bekijken, namelijk e^(2pi/n), e^(2*2pi/n), e^(3*2pi/n),..., e^((n-1)2pi/n).
De cyclotomische veelterm is dan heel eenvoudig het volgende product: (X-z1)(X-z2)... waarbij de zi juist die wortels zijn die je moest bekijken.
Op deze manier kan je nu alle cyclotomische veeltermen die je maar wil, opstellen. Voor priemgetallen zal dit altijd uitkomen op Xn-1 + Xn-2 + ... + X + 1 Dat is logisch vermits je het product van alle wortels neemt (=Xn-1) behalve de factor (X-1), dus is de cyclotomische veelterm (Xn-1)/(X-1)
En voor n=6 krijg je (X-e^(2pi/6))(X-e^(5*2pi/6)) = (X-(1/2 + iÖ3/2)) (X-(1/2 - iÖ3/2)) = (X - 1/2)2 + (Ö3/2)2 = X2 - X + 1/4 + 3/4 = X2 - X + 1
En dit resultaat zou je niet mogen verrassen: teken maar eens een regelmatige zeshoek in een goniometrische cirkel (met een hoekpunt in het punt (1,0)). Noem het volgende hoekpunt in tegenwijzerzin, X. Waar ligt X2 dan? En tel daar eens -X +1 bij op, je zal juist in 0 uitkomen...
Voor meer achtergrondinfo, kan je bijvoorbeeld hier terecht.
=1.De polynoom in Q[x] die dit element als nulpunt heeft is (X^n)-1.Dit polynoom is reducibel voor n
n