\require{AMSmath}

Berekenen vierhoek (veelhoek)

Ik ben nu als futter een volkstuinbeheerder (pro deo) geworden en wil de ruim 400 tuinen die wij bezitten nameten. De meeste tuinen zijn een vierhoek en de afmetingen zijn al door mij per tuin opgenomen. Nu om tijd te besparen laat ik het door Cabri uitrekenen. Wat mij nu opvalt dat je ook de hoekgraden moet hebben anders kom je bedrogen uit. Is er een mogelijkheid om zonder alle 1600 hoeken op te meten (ik zou niet weten hoe?) toch een globale oppervlakte per tuin te krijgen is, waar het bestuur en leden tevreden mee kan zijn?
P.S. Tot op heden heeft men een schatting gedaan.

Gert B
Ouder - maandag 31 januari 2005

Antwoord

De basisgedachte is dat iedere vierhoek is op te splitsen in twee driehoeken.

Voor de berekening van de oppervlakte van een driehoek bestaan een aantal formules:

1)Opp=¹/₂·basis·hoogte.
Deze is handig als het volkstuintje twee evenwijdige zijden heeft.
Methode: meet de loodrechte afstand h tussen deze evenwijdige zijden. Dit is dan de hoogte van beide driehoeken.
Stel de zijden van het tuintje die liggen langs de evenwijdige zijden zijn a en b, dan is de oppervlakte dus ¹/₂·h·(a+b).

2)
Er is ook een formule die de oppervlakte van een driehoek uitdrukt in de drie zijden a, b en c.
Deze formule heet de formule van Hero of Heroon.
Deze formule werkt als volgt:
Bereken de halve omtrek s van de driehoek: s=¹/₂(a+b+c).
De oppervlakte is dan √(s·(s-a)·(s-b)·(s-c)).
Omdat de diagonaal van het tuintje de derde zijde is van beide driehoeken hoef je alleen nog maar een van beide diagonalen op te meten en je weet de oppervlakte van beide driehoeken.

Nu zal het probleem wel weer zijn dat het opmeten van de diagonaal op practische problemen stuit omdat er vast wel weer een tuinhuisje of zo in de weg staat.
Dan heb je aan 1 hoek genoeg om de diagonaal uit te kunnen rekenen. Dat kan met de zogenaamde cosinusregel. Daarna pas je de formule van Heroon weer toe.

Hoe meet je nu handig een hoek op?
Een idee zou kunnen zijn:
In een van de hoeken van het tuintje pas je met een lat langs beide zijden precies 1 meter af. Met een touwtje meet je de afstand tussen deze twee punten. Noem deze afstand even t.
Volgens de cosinusregel geldt dan:
t²=1+1-2·cos(hoek)
t²=2-2·cos(hoek)
Dus 2·cos(hoek)=2-t²
cos(hoek)=1-¹/₂t².
Nu ga je de diagonaal berekenen. Weer met de cosinusregel:
Noem de twee zijden die aan de hoek vast zitten even a en b en de diagonaal d.
Dan geldt:
d²=a²+b²-2·a·b·cos(hoek)
Maar cos(hoek) was 1-¹/₂t², dus er geldt
d²=a²+b²-2·a·b·(1-¹/₂t²), dus
d=√(a²+b²-2·a·b·(1-¹/₂t²))
Je weet nu de diagonaal van je tuintje en kunt nu twee maal de formule van Heroon gebruiken om de oppervlakte uit te rekenen.
Dus ook al zou je hoeken gaan meten dan zijn het er 400 en geen 1600! Verder zullen een aantal tuintjes wel dezelfde hoek hebben en wordt het aantal hoeken nog minder!

hk
zaterdag 5 februari 2005

©2001-2024 WisFaq