1) welk soort oppervlak is dit 2) stel de vergelijking op van het raakvlak aan het oppervlak E in een algemeen punt (xo,yo,zo) 3) stel een cartesische vergelijking op van een rechte L door P(2,Ö2,0) en P(2,0,4) 4) bepaal de punten (x,y,z) Î E, waar het raakvlak aan E de rechte L bevat
dankje
maarte
3de graad ASO - vrijdag 28 januari 2005
Antwoord
Beste Maarten,
Je hebt een hele reeks vragen gesteld zag ik, maar een groot deel ging steeds over hetzelfde (raaklijnen e.d.) Ik zal het hier uitleggen, dan kan je misschien zelf ook met je andere opgaven verder.
E: x2 + 2y2 + z -4 = 0
1) welk soort oppervlak is dit
Je hebt één lineaire term (z) en 2 positieve kwadratische (x en y), dit is een elliptische paraboloïde
Dat ziet er zo uit:
2) stel de vergelijking op van het raakvlak aan het oppervlak E in een algemeen punt (xo,yo,zo)
De raaklijn aan een oppervlak door een punt stel je op door de partiële afgeleide van je functie te nemen naar alle veranderlijken (hier x,y,z) en die te evalueren in je punt (x0,y0,z0) - elk vermenigvuldigd met respectievelijk je veranderlijke verminderd met de coördinaat van het punt die ermee overeenkomt. Misschien is het zo iets duidelijker, met de verticale kolommen bedoel ik dat je het punt (x0,y0,z0) moet invullen in de verkregen afgeleide.
Als voorbeeld, het punt (1,1,1) ligt op de ellips. We leiden de functie af naar de 3 veranderlijken: - naar x: 2x (1,1,1) invullen: 2 vermenigvuldigen met (x-1): 2x-2 - naar y: 4y (1,1,1) invullen: 4 vermenigvuldigen met (y-1): 4y-4 - naar x: 1 (1,1,1) invullen: 1 vermenigvuldigen met (z-1): z-1
Optellen en gelijkstellen aan 0: 2x + 4y + z - 7 = 0.
Dit is de vergelijking van het raakvlak aan E door (1,1,1)
3) stel een cartesische vergelijking op van een rechte L door P(2,Ö2,0) en P(2,0,4)
Een rechte bepaal je in de ruimte als snijlijn van 2 vlakken, we zoeken dus 2 verschillende vlakken door deze punten. De eerste vind je makkelijk door de volgende 'determinant' op te stellen, gelijkstellen aan 0 en uitwerken.
Nu hebben we al één vlak door de 2 punten, we willen er graag nog een. Je kan nu het vlak opstellen, door deze 2 punten maar loodrecht op het vorige vlak. Dat kan je doen door de normaalvector (4Ö2,-8,-2Ö2) van het vorige vlak als richtingsvector van het nieuwe vlak te nemen. We stellen dan een 4x4 determinant op waarbij je moet opletten dat je voor punten een '1' toevoegt, en voor richtingsvectoren een '0'.
Nu heb je 2 loodrechte vlakken door de 2 gevraagde punten, hun snijlijn (stelsel van deze 2 vlakken) bepaalt de rechte door (2,Ö2,0) en (2,0,4).
Nu weet je wat voor een kwadriek je hebt, je kent de vergelijking een raakvlak en je hebt je rechte L, probeer nu zelf de laatste met deze gegevens op te stellen.
Ik heb de andere vragen redelijk uitgebreid uitgelegd, waarschijnlijk kan je daarmee ook wel een paar van je andere problemen oplossen
