\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 33336

Re: Limieten van rijen - Uitleg

Bedankt voor de inleiding (vooral de termen divergeren en convergeren zijn handig om nu te weten)

Nu blijf ik wel nog met één vraag zitten: is er geen formule om limieten te berekenen? Of moet je dat gewoon zien, gewoon inzien dat het naar een bepaald getal streeft? (want dit laatste zou soms voor moeilijkheden kunnen zorgen volgens mij ...)
Misschien is die formule te ingewikkeld, maar ik zou het wel leuk vinden om te weten Toch al bedankt voor de inleiding,

Christophe

Cie
2de graad ASO - donderdag 27 januari 2005

Antwoord

Beste Christophe,

Een eenduidige formule bestaat niet, maar er zijn wel rekenregels, eigenschappen en methodes om limieten uit te rekenen.
Later zal dit begrip (limieten) ook uitgebreid worden naar functies.

Om de limiet van een rij te berekenen zal je gewoonlijk werken met de 'algemene term' of het 'voorschrift' van de rij.
Als dit een expliciet voorschrift is (niet recursief) dan zit er altijd een veranderlijke in (gewoonlijk n) die het element van de rij bepaalt in functie van z'n plaats (rangnummer) in de rij.

Zoals in het voorbeeld van daarnet kan je deze rij beschouwen:
U_n = 2^n-1
Als je nu voor n de natuurlijke getallen afloopt dan bekom je de rij. Om de limiet te berekenen proberen we voor n "¥" (oneindig) in te vullen, om zo te zien waar de rij naar toe gaat.
In dit voorbeeld krijg je dan:
2^¥-1: een reëel getal groter dan 1 verheffen tot een oneindige macht is natuurlijk oneindig groot.
Zoals we daarnet al zagen is de limiet oneindig, en de rij dus divergent.

Voorbeeld 2 van daarnet had als algemene term:
U_n = 1/2^n-1
We vullen weer ¥ in voor n:
U_n = 1/2^¥-1
Nu vinden we in de noemer hetzelfde geval als in vb1, de noemer gaat dus naar oneindig. Een breuk waarvan de teller een reëel getal (verschillend van 0) is en de noemer naar oneindig gaat, zal uiteindelijk naar 0 gaan. De teller blijft immers constant, de noemer blijft groter worden en de hele breuk dus steeds kleiner.
We vinden dus inderdaad limiet 0 (en dus convergent)

Ik zal nog een laatste voorbeeld tonen:
De rij met als algemene term:
U_n = 2n/(n+1)
De rij ziet er dan als volgt uit:
1,⁴/₃,⁶/₄,⁸/₅,¹⁰/₆,...
De 50e term zou bijvoorbeeld zijn: ¹⁰⁰/₅₁
Waarschijnlijk heb je het al door, de rij blijkt steeds dichter bij 2 te komen.

We nemen de limiet voor n®¥:
U_n = 2n/(n+1) = 2¥/(¥+1)
Je ziet dat als n heel groot wordt, die +1 in de noemer 'geen effect' meer heeft. Het enige wat nog van belang is zijn die n's, die nu oneindig zijn geworden. Maar: in de teller staat er wel een factor 2, met andere woorden: de teller stijgt dubbel zo snel als de noemer. Uiteindelijk nadert de verhouding naar 2.
Merk op dat als de hoogste graad van n in de teller dezelfde macht heeft als de hoogste graad van n uit de noemer (hier beiden 1), dat de limiet dan de verhouding is van hun coëfficiënten, hier dus 2/1 = 2.

mvg,
Tom

td
donderdag 27 januari 2005

©2001-2024 WisFaq