Ok, onbeperkte afleidbaarheid is een eigenschap die volgt uit het feit dat een functie analytisch is. Het is echter zo dat een functie onbeperkt afleidbaar kan zijn, maar niet daaruit volgt niet dat deze analytisch is. Dus, hoe bepaal je nu of een functie (reëel) analytisch is?
Marijn
Student universiteit België - woensdag 26 januari 2005
Antwoord
Hoi Marijn,
Het algemene antwoord op jouw vraag is al door Koen gegeven: een (complex-waardige) functie is analytisch op een open omgeving W van dan en slechts dan als hij complex differentieerbaar is op W. Ook voor reeel analytische functies kun je bewijzen dat er een open omgeving W in van de reele as is waartoe je de functie kunt analytisch kunt uitbreiden (de clou van het bewijs is dat je de machtreeks op ziet als een machtreeks in het complexe vlak). In het algemeen zul je analyticiteit dus bewijzen door te laten zien dat de functie complex differentieerbaar is (of daartoe uit te breiden). Andere gevallen worden meteen een heel stuk lastiger en moeten per geval bekeken worden. Vaak kun je wel met complexe differentieerbaarheid werken op een groot deel van het domein, zodat je alleen enkele punten overhoudt waarvoor je de machtreeksontwikkeling moet checken. Bewijzen dat een functie niet analytisch is, is tot op zekere hoogte makkelijker, met dien verstande dat het nog steeds per functie bekeken moet worden, omdat je dan alleen een punt hoeft te vinden waarvan het duidelijk is dat een eventuele machtreeks nooit gelijk kan zijn aan de desbetreffende functie.
Enkele eenvoudige voorbeelden:
A. f:®:f(x)=1/(1+x2) is uit te breiden tot g:\{i,-i}®:g(z)=1/(1+z2). g is complex differentieerbaar op \{i,-i}, dus analytisch op dat domein. f is dus ook (reeel) analytisch op . Overigens kun je ook nog uit de theorie halen dat de convergentiestraal van de Taylor-reeks in het punt aÎ gelijk is aan de afstand van a + 0·i in het complexe vlak tot {i,-i} dus aan Ö(1+a2). B. f:®:f(x)=e-1/x2 is uit te breiden tot een complex differentieerbare functie op \{0} en dus in ieder geval analytisch op alle punten, behalve misschien in x=0. Verder is f wel onbeperkt differentieerbaar in x=0 (bewijs vergt wel even wat en is gebaseerd op de schatting dat e-1/x2 = o(xn) voor elke macht n) met alle afgeleiden gelijk aan 0. Als hij te schrijven zou zijn als machtreeks rond x=0, dan zou die gelijk zijn aan zijn Taylor-reeks, maar omdat alle afgeleiden nul zijn in x=0, zou de functie dan de nulfunctie moeten zijn. Conclusie: f is niet te schrijven als een machtreeks rond x=0. C. van f:®:(ex-1)/x zie je misschien niet direct dat hij differentieerbaar is in x=0. Wel is weer meteen duidelijk dat je hem kunt uitbreiden tot een complex differentieerbare functie op \{0}. Net als hiervoor hoef je dus alleen rond x=0 nog de analyticiteit te onderzoeken. Als je de machtreeks voor de e-macht uitschrijft, er 1 vanaf trekt en deelt door x, dan heb je direct de machtreeks voor f rond x=0 gevonden. Bewijzen dat dit inderdaad de machtreeks voor f is vergt misschien nog wat subtiliteiten, maar in essentie is hiermee bewezen dat f ook analytisch is in x=0.
Dit is een reactie op vraag 32494 
dan en slechts dan als hij complex differentieerbaar is op W. Ook voor reeel analytische functies kun je bewijzen dat er een open omgeving W in 
is waartoe je de functie kunt analytisch kunt uitbreiden (de clou van het bewijs is dat je de machtreeks op 