De baan van een punt P is voor t op [p,q] gegeven door K:
X = 1-2 cos (t+1) Y = 2 cos (2t + 2)
p 0 de kromme wordt 1x doorlopen
vraag : bereken de minimale waarde van p en van q alvast bedankt :)
Thomas
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 19 januari 2005
Antwoord
Om alle mogelijke x-waarden van -1 tot 3 eenmaal te doorlopen, moet t van p tot p+2$\pi$ lopen; de y-waarden worden dan tweemaal doorlopen, de kromme (x,y) eenmaal. Een minimale waarde van p$>$0 is er niet, q=p+2$\pi$.
Interessanter is de vraag naar p en q zodanig dat het punt P voor t=p en voor t=q samenvalt (dubbelpunt van de kromme). Misschien bedoelde u dat? Een lus van de kromme wordt eenmaal doorlopen? Daar ga ik verder van uit.
Er moet dan gelden: 0$<$p$<$q; p en q minimaal; en (1-2·cos(p+1),2·cos(2p+2))=(1-2·cos(q+1),2·cos(2q+2)), dus cos(p+1)=cos(q+1) en cos(2p+2)=cos(2q+2). Uit de twee gelijkheden volgt (q+1=p+1+2k$\pi$ (A1) of q+1=-p-1+2m$\pi$ (A2)), en (2q+2=2p+2+2n$\pi$ (B1) of 2q+2=-2p-2+2j$\pi$ (B2)), (k,m,n,j$\in\mathbf{Z}$). Dus (A1 en B1) of (A1 en B2) of (A2 en B1) of (A2 en B2). Met 0$<$p$<$q, p en q minimaal, levert dit (resp.): (q=p+2$\pi$) of (q=p+2$\pi$ en nog wat) of (p=$\pi$/2-1,q=3$\pi$/2-1) of (p+q=-2+2$\pi$); dus, omdat 0$<$p$<$q, p en q minimaal, en de lus slechts eenmaal doorlopen wordt: p=$\pi$/2-1,q=3$\pi$/2-1. Het is verder interessant dat, als bijvoorbeeld p+q=-2+2$\pi$, q-p willekeurig klein kan zijn; dus de dubbelpunten van de kromme verdichten zich daar. Maar het kan ook een kwestie van heen en weer lopen zijn, dus er hoeft niet per se een lus zichtbaar te zijn. Misschien kunt u een animatie uitvoeren? Of laat Maple de kromme tekenen.
Wacht even, ik heb zojuist zelf Maple er bij gehaald, dat had ik eerder moeten doen. Het punt P loopt heen en weer over een parabool, de parabool y=(x-1)2-1. Dus er zijn geen lussen.
0