Hallo, Voor welke reële waarden vazn x en y is (x+yi)3 reël en groter dan 8 .Stel dan de waarden grafisch voor in het complexe vlak. Graag wat toelichting of oplossing aub. hl
hl
Ouder - dinsdag 18 januari 2005
Antwoord
Hallo Hendrik,
NB: ik had deze vraag eerst opgelost door gebruik te maken van de goniometrische voorstelling, maar dat is eigenlijk niet nodig. Dat antwoord staat onderaan.
(x+yi)3 = (x3-3xy2) + i(3x2y-y3) De factor die bij i staat moet nul zijn, dus ofwel y=0, ofwel 3x2=y2
1. Als y=0 dan (x+yi)3 = x3, dus de oplossingen zijn in dit geval de reele getallen die groter zijn dan 2. 2. Als y2=3x2, dus y=±x$\sqrt{ }$3 Dan (x+yi)3 = x3-3xy2 = x3-3x3x2 = -8x3. Dit is enkel groter dan 2 wanneer x kleiner is dan -1. De bijhorende y is dan ±x$\sqrt{ }$3.
En dit geeft je dan drie groepen oplossingen, gelegen op drie halfrechten in het complexe vlak, wiens vergelijkingen ik in het vet heb gezet.
-------------
Deze oefening is het eenvoudigst op te lossen door gebruik te maken van de goniometrische voorstelling: elk complex getal kan je voorstellen door r(cos$\theta$+i sin$\theta$). En als je zo een getal tot de derde macht verheft, moet je de r tot de derde verheffen, en de hoek maal drie doen (wordt de formule van de Moivre genoemd).
We krijgen hier dus: r3 (cos(3$\theta$) + i sin(3$\theta$))
Nu heb je twee eisen opgelegd: de derdemacht moet reeel zijn, dus moet de hoek 3$\theta$ een veelvoud van 180 graden zijn. Maar het resultaat moet groter zijn dan 8, dus positief, vandaar dat de hoek 3$\theta$ een veelvoud moet zijn van 360 graden. Dus $\theta$ moet ofwel 0, ofwel 120, ofwel 240 graden zijn. En r3 moet groter dan 8 zijn, dus moet r groter dan 2 zijn.
Antwoord: elk complex getal van de vorm r(cos(k·120)+i sin(k·120)) met r$>$2 en k=0, 1 of 2 voldoet.
Dit kan je dan nog terug omzetten in x+yi-notatie om op de oorspronkelijke vraag te antwoorden, dat wordt:
1. x+yi met x=rcos0 en y=rsin0, met r$>$2, of dus x=r en y=0 met r$>$2 2. x+yi met x=rcos120 en y=rsin120 met r$>$2, of dus x=-r/2 en y=+r$\sqrt{ }$(3)/2 met r$>$2 3. x+yi met x=rcos240 en y=rsin240 met r$>$2, of dus x=-r/2 en y=-r$\sqrt{ }$(3)/2 met r$>$2
Grafisch zie je dan drie halfrechten, die alle drie vertrekken op de cirkel met straal 2 (randpunt niet inbegrepen), de eerste halfrechte gaat naar rechts en ligt dus op de reele rechte, de twee andere halfrechten wijzen in de richting van 120 resp 240 graden.
