\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 3643

Re: De wortel van elk priemgetal is irrationaal

Is er ook een bewijs dat als ggd(a,b)=1 dat ggd(a²,b²) ook 1 is?

R.
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zondag 16 januari 2005

Antwoord

Beste Raymond,

Ja zo'n bewijs is er. Stel dat ggd(a,b)=1, maar ggd(a²,b²)$>$1. Dan is er een priemgetal p zodat p een deler is van ggd(a²,b²). Dus p is een deler van a² en van b². Maar p is niet een deler van een van beide, a of b. Laten we zeggen dat p geen deler is van a.

Elk getal kunnen we schrijven als product van allemaal priemgetallen, de hoofdstelling van de getaltheorie, en dat kan maar op één manier. Maar als p niet in het rijtje van priemgetallen zit dat a vormt, dan natuurlijk ook niet in het verdubbelde rijtje dat a² vormt. Dus het kan helemaal niet dat p een deler is van a², maar niet van a.

Dan moet onze eerste veronderstelling, dat ggd(a,b)=1 maar ggd(a²,b²)$>$1, dus fout zijn. Want er volgt onzin uit.

FvL
maandag 17 januari 2005

©2001-2024 WisFaq