p=priem met vp(a) wordt bedoeld het aantal factoren p in a. Voorbeeld: v2(75)=0, v3(75)=1, v5(75)=2
Laten a, b en c positieve gehele getallen zijn.
1) Bewijs dat c een deler is van a dan en slechts dan als vp(c)vp(a) voor alle priemgetallen p.
2) Bewijs dat voor alle priemgetallen p geldt vp(kgv(a,b))=max(vp(a),vp(b))
Ik vind het allemaal wel erg logisch maar hoe kan ik dat bewijzen?
Liefs Amy
Amy
Student hbo - zaterdag 15 januari 2005
Antwoord
Hallo Amy,
1) Stel vp(c)cp(a) voor elke p. Dat betekent dat, als je c schrijft als Õpimi, en a als Õpini, dat dan voor elke i geldt dat mi ni. Anders gezegd: a/c = Õpini-mi, met ni-mi0 voor elke i, dus a/c is een product van gehele getallen, dus a/c = b Î , en dus is c een deler van a.
De omgekeerde richting gaat ongeveer hetzelfde: c is een deler van a, dus a=bc, schrijf b en c als product van priemgetallen (dus weer met zo een Õ-notatie), bereken dan bc in Õ-notatie, dat is dan a, en daaruit kan je afleiden dat de exponenten die bij c hoorden, telkens kleiner zijn dan de exponenten die bij a horen.
2) Die kan je (onder meer) uit het ongerijmde doen: - stel vp(kgv(a,b)) max(vp(a),vp(b)) voor een p. Dan vp(kgv(a,b)) vp(a) of vp(kgv(a,b)) vp(b). Bijvoorbeeld vp(kgv(a,b)) vp(a), dan is volgens 1) a geen deler van kgv(a,b), wat strijdig is met de definitie van kgv (kleinste GEMEENSCHAPPELIJK veelvoud).
Hieruit besluiten we dat vp(kgv(a,b)) max(vp(a),vp(b)) voor alle p.
- stel vq(kgv(a,b)) max(vq(a),vq(b)) voor een priem q. Bekijk nu c=kgv(a,b)/q. Dan geldt nog altijd: vp(c) max(vp(a),vp(b)) voor elke p. Dus vp(a) vp(c)) en vp(b) vp(c). Dus is wegens 1) a een deler van c, en b een deler van c. Dus is die c een gemeenschappelijk veelvoud van a en b, en c is kleiner dan kgv(a,b). Dat is weer strijdig met de definitie van kgv: KLEINSTE gemeenschappelijk veelvoud...
Die 2) kan je ook wel oplossen door met die Õ-notatie te werken denk ik, maar op deze manier werk je echt met de definitie van kgv. Ik hoop dat het een beetje duidelijk is, want het is allemaal inderdaad wel heel logisch, maar als je het expliciet wil bewijzen komt er dikwijls toch een nogal zware notatie bij kijken...
vp(a) voor alle priemgetallen p.
0 voor elke i, dus a/c is een product van gehele getallen, dus a/c = b Î 
, en dus is c een deler van a.
max(vp(a),vp(b)) voor een p.
max(vq(a),vq(b)) voor een priem q. Bekijk nu c=kgv(a,b)/q. Dan geldt nog altijd: vp(c) 