Raaklijn bepalen, maar met maar een punt gegeven ?
Hallo!
Ik moet de raaklijn bepalen van de functie y(x)=2x2+2. En het enige wat ik weet is dat die raaklijn de x-as snijdt in x=1.
Hoe moet dat?!?!
Paula
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 13 januari 2005
Antwoord
Kijk eens in onderstaand plaatje. Hierin is de functie y(x)=2x2+2 getekend en een aantal lijnen door (1,0). Sommige van die lijnen door (1,0) hebben twee punten gemeen met de grafiek van y(x), andere geen enkel punt. Er is ook een lijn getekend( de groene) die precies 1 punt met de grafiek gemeen heeft. Dit is de raaklijn.
Hoe lossen we dit probleem nu op? Eerst gaan we een algemene formule bedenken voor alle lijnen door (1,0). In het algemeen kun je een formule van een lijn schrijven als y=ax+b. Maar we weten dat (1,0) op de lijn moet liggen dus moet gelden: 0=a.1+b, dus 0=a+b, dus b=-a. De algemene formule voor een lijn door (1,0) is dus y=ax-a.
We willen dat er 1 snijpunt is, dus gaan we de snijpunten van y=2x2+2 en y=ax-a berekenen:
2x2+2=ax-a 2x2-ax+(2+a)=0 Dit is een tweedegraadsvergelijking dus passen we de abc-formule toe, maar we zijn niet geinterresseerd in de snijpunten. Alleen maar in het feit dat het er 1 is. Dat kun je makkelijk zien aan de discriminant (deze moet dan 0 zijn). De discriminant is: (-a)2-4.2.(2+a)=a2-8(2+a)=a2-16-8a. We kunnen nu a vinden door de vergelijking a2-8a-16=0 op te lossen. Doe je dat zelf nog even? (Je vindt twee waarden van a!)
