\require{AMSmath}

Worteltrekken complexe getallen

De uitleg in mijn boek worteltrekken complexe getallen begrijp ik niet helemaal, zou iemand dit kunnen toelichten?

er staat:

z³=8=e²k$\pi$i zodat z=2.e²/3k$\pi$i = 2·(cos(2/3k$\pi$) + i·sin(2/3k$\pi$), de wortels zijn dus x=2 en x=-1+√3·i en -1-√3·i

en:

z⁴ = i = e^(o.5$\pi$+2k$\pi$)·j zodat
z=cos($\pi$/8 + o.5k$\pi$) + i·sin($\pi$/8 + o.5k$\pi$)


ik kijk uit naar jullie uitleg

Lennar
Student hbo - woensdag 12 januari 2005

Antwoord

Beste Lennard,

Eerst en vooral even wat over de notatie, er zijn verschillende vormen:
z = x+iy = r(cos$\theta$-isin$\theta$) = r·e^i$\theta$
Waarbij r de modulus is (r²=x²+y²) en $\theta$ het argument.

In je eerste oef is er enkel een reëel deel, geen imaginair.
z³ = 8 $\Rightarrow$ r = sqrt(8²) is natuurlijk ook 8.
De goniometrische vorm is:
z³ = 8·(cos$\theta$-isin$\theta$) waarvan je weet dat het deel van de cosinus 1 moet zijn (om terug 8 te krijgen) en de sinus 0, want er is geen imaginair deel. $\theta$ is dan 0 (+2k$\pi$)
Dus: z³ = 8(cos(2k$\pi$)+isin2k$\pi$)

Er geldt: zⁿ = ⁿ√r·(cos$\theta$/n-isin$\theta$/n)

Dat geeft hier:
z = 2·(cos(2k$\pi$/3)+isin2k$\pi$/3)

Nu hoef je enkel waarden voor k af te gaan (0,1,...,n), hier dus 3 in het totaal:

k = 0 $\Rightarrow$ z₁ = 2·(cos0+isin0) = 2
k = 1 $\Rightarrow$ z₂ = 2·(cos(2$\pi$/3)+isin(2$\pi$/3)) = -1 + √3i
k = 2 $\Rightarrow$ z₃ = 2·(cos(4$\pi$/3)+isin(4$\pi$/3)) = -1 - √3i

In je 2e opgave is de tussenstap van complexe vorm niet nodig, tenzij je je wortels ook wilt uitrekenen in complexe vorm.
Direct naar de goniometrisch vorm dan:
z⁴ = i = r(cos$\theta$-isin$\theta$) met r = 1 en $\theta$ zó dat dit keer de cosinus wegvalt (je hebt geen imaginair deel) en de sinus 1 wordt $\Rightarrow$ $\theta$ = $\pi$/2 (+2k$\pi$).

Dus: z⁴ = (cos($\pi$/2 +2k$\pi$)-isin($\pi$/2 +2k$\pi$)) $<\Rightarrow$ z = (cos($\pi$/8 +0.5k$\pi$)-isin($\pi$/8 +0.5k$\pi$)) en dan zijn we er. Nu weer de n waardes voor k afgaan (hier 4: 0,1,2,3) en je hebt de 4 wortels.

mvg,
Tom

td
woensdag 12 januari 2005

©2001-2024 WisFaq