Geheeltallige oplossing zonder hulp van een formule
Hoe kun je één geheeltallige oplossing zonder hulp van een formule, van een derde graads vegelijking vinden?
Boudew
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 11 januari 2005
Antwoord
Beste Boudewijn en Tom,
Ik neem aan dat jullie met formule zoiets als Cardano bedoelen, een formule om rechtstreeks oplossingen van een vergelijking te vinden.
Wat jullie vragen zal niet altijd gaan, niet alle 3e-graadsvergelijkingen hebben immers gehele getallen als oplossing.
Als een 3e-graadsvergelijking van de vorm ax³+bx²+cx+d wél een gehele oplossing heeft, bvb q, dan is q een deler van d. Je zou deze kunnen vinden door te ontbinden in factoren, de factor (x-q) kan dan afgezonderd worden.
Neem bvb de 3e-graadsvergelijking x3-x2+2x-2 = 0
In de eerste 2 termen kan je x2 buiten haakjes brengen, in de laatste twee termen een factor 2, je krijgt dan: x2(x-1)+2(x-1)=0
Nu is de factor (x-1) gemeenschappelijk, buiten brengen geeft: (x-1)*(x2+2)=0
Nu zie je duidelijk dat x = 1 een gehele oplossing is van je vergelijking.
Onthoud wel dat ontbinden niet altijd gaat! Meer informatie over ontbinden in factoren via onderstaande link.
