Hoe kun je de positie van de toppen van een derdegraads productgrafiek van een lijn en een parabool wiskundig verklaren?
Timco
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 11 januari 2005
Antwoord
Door de X-as horizontaal te verschuiven, kan men bereiken dat de top van de parabool (0,d) is. Stel lijn: Y=aX+b, parabool Y=cX2+d met c¹0. Stel a¹0, anders is het gemakkelijk. Productkromme Y=(aX+b)(cX2+d)=acX3+bcX2+adX+bd. Afgeleide Y'=3acX2+2bcX+ad=0 als de discriminant niet negatief is en X=(-2bc±wortel(4b2c2-12a2cd))/(6ac)=(-b±wortel(b2-3a2d/c))/(3a). Dit zijn de X-coordinaten van de toppen van de productkromme in het aangepaste assenstelsel (als b2-3a2d/c0, anders zijn er geen toppen). Mooie X-waarden zijn het niet, maar we moeten het er mee doen. Je ziet wel hoe ze samenhangen met a,b,c,d. De Y-coordinaten vindt men door invullen van deze X-waarden in de vergelijking van de productkromme. Hier verwacht ik ook geen eenvoudig antwoord, maar misschien valt dat mee. Probeer het zelf eens? Let op: men mag de Y-as niet zomaar gaan verschuiven, omdat dan onduidelijk wordt wat men onder 'product' verstaat.
0, anders zijn er geen toppen).