Zijn er twee getallen uit de rij van Fibonacci die als je die door elkaar deelt er precies 1.618033989 uitkomt?
Elias
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zaterdag 8 januari 2005
Antwoord
Je bedoelt hoogstwaarschijnlijk of het quotiënt van twee opeenvolgende termen (waarbij de teller één term verder in de Fibonacci-rij is dan de noemer) uit de Fibonacci-rij ooit 1,618033989 bedraagt. Wel, het antwoord is nee.
Stel de "Fibonacci-termen" voor als F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2, ... , F(n) = F(n-1) + F(n-2). De rij die jij bedoelt wordt dan G(1) = F(2)/F(1) = 1/1 = 1, G(2) = F(3)/F(2) = 2/1 = 2, ... , G(n) = F(n+1)/F(n). Je kunt met allerlei wiskundige handelingen (eigenvectoren enz) een directe formule opstellen die de Fibonacci-term geeft als jij het rangnummer geeft.
Die formule is F(n) = (1/Ö(5))*((1/2+1/2*Ö(5))^n-(1/2-1/2*Ö(5))^n). Waarbij n het n-de Fibonacci-getal is.
Dus het quotiënt van twee opeenvolgende Fibonacci-getallen is F(n+1)/F(n) en dat is, hou je vast, G(n) = ((1/2+1/2*sqrt(5))^(n+1)-(1/2-1/2*sqrt(5))^(n+1))/((1/2+1/2*sqrt(5))^n-(1/2-1/2*sqrt(5))^n). Als je hier n ® ¥ dan krijg je F = 1/2(1 + Ö(5)) als limiet.
Jouw benadering is afgerond en groter dan F dus dat kan sowieso al niet worden bereikt. Al gaf je 1/2(1 + Ö(5)) dan kun je nog niet zeggen welke opeenvolgende termen door elkaar gedeeld F oplevert want het antwoord is een limiet (n wordt nooit echt oneindig).
