Oppervlakteformules en inhoudsformules van piramiden
Wat zijn de oppervlakteformules en inhoudsformules van piramiden met als grondvlak een gelijkzijdige driehoek en van piramiden met als grondvlak een vierkant grondvlak?
Jannes
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 17 mei 2002
Antwoord
Eerst even de piramide met de gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken (dat heet dan ook wel een tetraëder). Natuurlijk maak je even een schetsje, anders is het volgende verhaal waarschijnlijk niet te volgen.
Als we de zijde van de driehoek ABC a noemen, dan is de hoogte gelijk aan ½.a.√3 Dat is gewoon een kwestie van het trekken van de hoogtelijn, bijvoorbeeld vanuit C, en de stelling van Pythagoras toepassen. De oppervlakte van één zo'n gelijkzijdige driehoek is dan dus ¼.a2.√3. Dat kun je zelf wel eventjes met 4 vermenigvuldigen, denk ik, en dan heb je de hele oppervlakte.
De hoogte van de piramide ligt wat lastiger. Als we de top van de piramide T noemen, dan komt de hoogte TZ in het zwaartepunt Z van driehoek ABC uit. Je weet dat het zwaartepunt de zwaartelijn verdeelt in de verhouding 2 : 1. Dus de afstand van hoekpunt A tot punt Z is gelijk aan het 2/3 deel van de hoogtelijn. Bedenk: in een gelijkzijdige driehoek is hoogtelijn en zwaartelijn hetzelfde! Die afstand is dus 2/3.½.a.√3 = 1/3.a.√3 Pas nu Pythagoras toe in driehoek TAZ. Er geldt: AT2 = AZ2 + ZT2 en omdat AZ en AT = a bekend zijn weet je de hoogte TZ. De inhoudsformule voor piramides, 1/3.G.h, doet de rest.
Voor de andere piramide geldt ongeveer hetzelfde, zij het dat je nu een vierkante bodem hebt met oppervlakte a2 plus de vier gelijkzijdige opstaande driehoeken. De oppervlakte is dus bekend;zie boven.
Ook hier even de piramidehoogte apart bekijken. De hoogte TM komt in het midden M van het grondvlak ABCD uit. Omdat AC = a.√2 is MC = ½.a.√2 en omdat TC = a kun je met Pythagoras weer TM berekenen. Je vindt dat ook TM = ½.a.√2. De inhoudsformule rondt het weer af.
